解析解与数值解

之前常常看到有文章提到解析解、数值解，因而怒查一发，总结至此。

解析解

解析解，又称为闭式解，是能够用解析表达式来表达的解。 在数学上，若是一个方程或者方程组存在的某些解，是由有限次常见运算的组合给出的形式，则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中，解析解也被称为公式解。

当解析解不存在时，好比五次以及更高次的代数方程，则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。大多数偏微分方程，尤为是非线性偏微分方程，都只有数值解。

解析表达式的准确含义依赖于何种运算称为常见运算或常见函数。传统上，只有初等函数被看做常见函数（因为初等函数的运算老是得到初等函数，所以初等函数的运算集合具备闭包性质，因此又称此种解为闭式解），无穷级数、序列的极限、连分数等都不被看做常见函数。按这种定义，许多累积分布函数没法写成解析表达式。但若是把特殊函数，好比偏差函数或gamma函数也看做常见函数，则累积分布函数能够写成解析表达式。

在计算机应用中，这些特殊函数由于大多有现成的数值法实现，它们一般被看做常见运算或常见函数。实际上，在计算机的计算过程当中，多数基本函数都是用数值法计算的，因此所谓的基本函数和特殊函数对计算机而言并没有区别。

数值解

数值解，是指给出一系列对应的自变量，采用数值方法求出的解。采用的方法有限元法、数值逼近、插值法。他人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。当没法由微积分技巧求得解析解时，便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了，数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程当中，首先要将原方程式加以简化，以便后来的数值分析。例如，会先将微分符号改成差分符号等。而后用传统的代数方法将原方程式改写成另外一方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。所以利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值，而解析解为一连续的分布。

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参考资料：

[1] wikipedia 解析解

[2] 百度百科 数值解