LeetCode进阶1025-动态规划

原题

1025. Divisor Game

Alice and Bob take turns playing a game, with Alice starting first.

Initially, there is a number N on the chalkboard. On each player's turn, that player makes a move consisting of:

• Choosing any x with 0 < x < N and N % x == 0.
• Replacing the number N on the chalkboard with N - x.

Also, if a player cannot make a move, they lose the game.

Return True if and only if Alice wins the game, assuming both players play optimally.

Example 1:

Input: 2 Output: true Explanation: Alice chooses 1, and Bob has no more moves. Example 2:

Input: 3 Output: false Explanation: Alice chooses 1, Bob chooses 1, and Alice has no more moves.

Note:

1 <= N <= 1000

1025. 除数博弈

Alice和Bob轮流玩一个游戏，Alice先手。

一开始，黑板上有一个数字N.在某个玩家的回合中，该玩家进行如下操做：

• 选择任意整数x，x知足0 < x < N 而且N % x == 0
• 将黑板上的数字N替换成N - x

最后，若是玩家没法选择，那么判断他游戏失败。

当且仅当Alice赢得比赛时才返回True，假设两个玩家都达到最佳状态

示例 1：

输入：2 输出：true 解释：Alice选择 1，Bob勃没法进行操做。 示例 2：

输入：3 输出：false 解释：Alice选择 1，Bob勃也选择 1，而后Alice没法进行操做。

提示：

1 <= N <= 1000

• 本题在LeetCode上在动态规划分类下

题意分析

结合LeetCode的官方分类能够猜想出本题解题思路偏向动态规划思想，动态规划的思想核心，结果之间具备互相依赖性。至少有一种思路是动态规划方向（若是了解过斐波那契数字的解法，便很容易联想到本题动态规划的具体思路。未理解过斐波那契数解法的读者请关注笔者leetcode第509题后续博文。）。另外一种思路，根据题目不妨带入具体数字不难发现一个结论，偶数状况必定会赢，奇数状况必定会输。咱们考虑如何证实这个结论。

方法一：动态规划

思路:

当N为1：

无数字x可带入，输

当N为2：

带入数字x=1能赢。

当N为3：

若x为1，对手回合新N为2，根据上述推导结论N为2时对手赢，而本身输，继续尝试改变x

若x为2，没法整除舍弃

当N为4：

若x为1，对手回合新N为3，根据上述推导结论N为3时对手输，而本身赢，无需继续尝试改变x；

伪代码：

一、声明一个大小为N+1的boolean数组，用于存取从1～N每一个数组对应输赢，数组下标表示数组，值表示输赢（初始win[1]默认为输）
     二、双重循环遍历：
       第一层循环从数字2到数组N循环遍历，按照从小到大；
       第二层循环从1到当前外层循环数组x（不包含x），按照从小到大；
       i.n % x ==0 能整除时，断定对手的下一回合win[n-x]输赢，若对手输则天然当前回合能赢，将结果赢存入数组win[n]
       ii.不然，x自增后继续尝试i；
       
     三、遍历结束从2到N的输赢结果均保留在数组中，返回win[N]；
   
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• 注意： 动态规划总体上提交结果正确，可是也因为循环次数较多，在时间空间复杂度等效率方面并不高。实际项目需结合具体场景进行算法选型

动态规划实现代码：

public boolean divisorGame(int N) {
		boolean[] win = new boolean[N + 1];
		for (int n = 2; n <= N; ++n) {
			for (int x = 1; x < n; x++) {
				if (n % x == 0) {
					if (!win[n - x]) {
						win[n] = true;
						break;
					}
				}
			}
		}
		return win[N];
	}

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方法二：根据奇偶规律证实

思路:

当N为1：赢

当N为2：赢

当N为3：输

当N为4：赢

...

发现规律N为奇数赢，N为偶数输，则转化为数学问题证实题。

证实：

1、N为奇数时

1.N为质数，则x必然只能为1，则对手回合N变成 N - 1 为数字更小的偶数；
2.N不为质数，存在x，则x必然为奇数，对手回合N变成 N - x 为数字更小的偶数；
结论：N为奇数时，对手回合必然为偶数且N减少。

2、N为偶数时我方赢

证实：
1.令x等于1，对手回合N变成 N - 1 为数字更小的奇数；
2.对手回合的N必然为奇数，由一可知操做后我方的N必然为减少的偶数，我方持续令x=1；
3.最终回合对手N减少为1，对手输而我方赢；
结论：N为偶数时我方赢。

2、N为奇数时我方输

证实：
1.N为质数，则x必然只能为1，而对手回合则变成偶数，由一可知，对手令x=1对手赢，我方输；
2.N不为质数，存在x，则x必然为奇数，对手回合N变成 N - x 为数字更小的偶数，由一可知，对手令x=1对手赢，我方输；
结论：N为奇数时我方输。

复制代码

实现代码：

public boolean divisorGame(int N) {
		return (N & 1) == 0;
	}
	
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彩蛋

仔细观察第二种方法实现的时候，并非使用N % 2 == 0来判断奇偶，而是经过(N & 1) == 0来判断，这即是本文的彩蛋。千里之行，始于足下，共勉之～

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