反向传播算法推导过程

时间 2019-11-11

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转自：https://www.zhihu.com/question/24827633/answer/91489990网络

1. 前向传播

对于节点来讲，的净输入 $net_{h_1}$ 以下：函数

$net_{h_1}=w_1\times i_1+w_2\times i_2+b_1\times 1$
接着对 $net_{h_1}$ 作一个sigmoid函数获得节点的输出：
$out_{h_1}=\frac{1}{1+e^{-net_{h_1}}}$
相似的，咱们能获得节点、、的输出 $out_{h_2}$ 、 $out_{o_1}$ 、 $out_{o_2}$ 。blog

2. 偏差

获得结果后，整个神经网络的输出偏差能够表示为：
$E_{total}=\sum\frac{1}{2}(target-output)^2$
其中就是刚刚经过前向传播算出来的 $out_{o_1}$ 、 $out_{o_2}$ ；是节点、的目标值。 $E_{total}$ 用来衡量两者的偏差。
这个 $E_{total}$ 也能够认为是cost function，不过这里省略了防止overfit的regularization term（ $\sum{w_i^2}$ ）
展开获得
$E_{total}=E{o_1}+E{o_2}=\frac{1}{2}(target_{o_1}-out_{o_1})^2+\frac{1}{2}(target_{o_2}-out_{o_2})^2$ get

3. 后向传播

3.1. 对输出层的

经过梯度降低调整，须要求 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$ ，由链式法则：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}\frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {w_5}}$ ，
以下图所示：it

$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}=\frac{\partial}{\partial {out_{o_1}}}(\frac{1}{2}(target_{o_1}-out_{o_1})^2+\frac{1}{2}(target_{o_2}-out_{o_2})^2)=-(target_{o_1}-out_{o_1})$

$\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}=\frac{\partial }{\partial {net_{o_1}}}\frac{1}{1+e^{-net_{o_1}}}=out_{o_1}(1-out_{o_1})$
$\frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {w_5}}=\frac{\partial}{\partial {w_5}}(w_5\times out_{h_1}+w_6\times out_{h_2}+b_2\times 1)=out_{h_1}$
以上3个相乘获得梯度 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$ ，以后就能够用这个梯度训练了：
$w_5^+=w_5-\eta \frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$
不少教材好比Stanford的课程，会把中间结果 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {net_{o_1}}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}$ 记作 $\delta_{o_1}$ ，表示这个节点对最终的偏差须要负多少责任。。因此有 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}=\delta_{o_1}out_{h_1}$ 。io

3.2. 对隐藏层的

经过梯度降低调整，须要求 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}$ ，由链式法则：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}$ ，function

以下图所示：神经网络

参数影响了 $net_{h_1}$ ，进而影响了 $out_{h_1}$ ，以后又影响到 $E_{o_1}$ 、 $E_{o_2}$ 。
求解每一个部分：im

$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}=\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}+\frac{\partial {E_{o_2}}}{\partial {out_{h_1}}}$ ，img

其中

$\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}\times \frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}\times \frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}\times \frac{\partial}{\partial {out_{h_1}}}(w_5\times out_{h_1}+w_6\times out_{h_2}+b_2\times 1)=\delta_{o_1}w_5$ ，这里 $\delta_{o_1}$ 以前计算过

$\frac{\partial {E_{o_2}}}{\partial {out_{h_1}}}$ 的计算也相似，因此获得
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7$
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}$ 的链式中其余两项以下：
$\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}=out_{h_1}(1-out_{h_1})$ ，
$\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial }{\partial {w_1}}(w_1\times i_1+w_2\times i_2+b_1\times 1)=i_1$

相乘获得

$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}=(\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7)\times out_{h_1}(1-out_{h_1}) \times i_1$

获得梯度后，就能够对迭代了：

$w_1^+=w_1-\eta \frac{\partial{E_{total}}}{\partial{w_1}}$ 。

在前一个式子里一样能够对 $\delta_{h_1}$ 进行定义，

$\delta_{h_1}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}=(\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7)\times out_{h_1}(1-out_{h_1}) =(\sum_o \delta_ow_{ho})\times out_{h_1}(1-out_{h_1})$

因此整个梯度能够写成

$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\delta_{h_1}\times i_1$