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面试题 - 二输入比较器实现排序算法

转载自love小酒窝linux

https://www.cnblogs.com/lyc-seu/p/13385782.htmlweb

1. 问题描述

给定8个数，以及若干二输入的比较器（能够将两个输入排序）。要求在单周期内实现8个数的排序，并使用最少的比较器个数。（乐鑫）面试

（距离面试已通过了好久，抽空整理一下当时的题目）算法

2. 问题解析

乍一看，排序算法，这不是个算法题么，将8个数排下序，脑子里最早出来的是什么冒泡，选择，插入排序......赶忙打住，咱们如今在讨论电路，不要走错片场了。实际上题目限定了二输入的比较器，因此方向很明确，如今已经有二输入排序模块，咱们要用这个二输入的模块搭成8输入的。那么天然也就能想到，先搭个4输入的，看有没有什么规律。如今问题简化为4输入排序，很天然就想到，先分两组，每组之间排一下：（*表示较大的输出）vim

这样排完之后要解决的问题就是组间的大小问题。首先，两组之间最大的比较一下就能出来四个中最大的，两组最小的比较出来四个中最小的。因此第二级比较又须要两个比较器。第二级结束后咱们已经获得了最大和最小，但次大和次小还不能肯定，因此须要一个额外的比较器肯定次大次小。因此四个数的排序电路以下：微信

因此4个数进行排序须要的最少的二输入比较器个数是5个。那么如今问题回到8个数，实际上咱们至关于已经有了4输入进行排序的模块，用若干个4输入排序模块来完成8输入排序。相对于二输入模块，四输入的模块的输出能够分为两组，一组最大次大，另外一组最小次小。实际上仍是按照刚才的拓扑结构，将二输入换成四输入便可：app

仍是按照以前的思路，首先8个输入分为两组，每组之间排序。以后按照刚才的逻辑，上一组的最大次大和下一组的最大次大送入四输入排序模块，就能够肯定出8个数中的最大和次大。这里可能有人会有疑问。假设如图中所示，第一层出来之后上面的模块输出最大次大是B和C,下面模块输出最大和次大是H和F,这四个数中必定会产生8个数中的最大和次大值么？答案是确定的，由于对于A和D而言，B和C必定比他们大，因此没权利坐上8个里的第一第二的宝座，同理E和G也是。因此最大和次大值必定在B,C,H,F中产生。同理，最小和次小就会在A,D,H,F中产生。因此第二级结束后8个数中的最大，次大，最小，次小就肯定了。剩下四个再来一级比较一下就排序完成了。因此按照这种方法，8个数进行排序须要的二输入比较器个数就是5*5=25个。编辑器

经评论区@SpiritzQAQ君的提示，确实后面三个4输入模块不必取完整，实际上能够只用4输入模块中的后三个二输入比较器，由于这几级的输入大小关系已经肯定，更改后的拓扑图以下：

只须要5*2+3*3 = 19 个比较器。

3. 延伸思考

事实上，上面的硬件实现方式就是归并排序的展开实现，归并排序算法以下：

参考：https://www.cnblogs.com/onepixel/articles/7674659.html

归并排序是创建在归并操做上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个很是典型的应用。将已有序的子序列合并，获得彻底有序的序列；即先使每一个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。算法描述：

把长度为n的输入序列分红两个长度为n/2的子序列；
对这两个子序列分别采用归并排序；
将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

再想一下，这一题最本质的问题实际上是：

给定n个数的排序，最少须要的比较次数是多少？

若是从信息论的角度来看，n个数的排序总共有种状况，对应的信息量就是，而一次比较得到的信息量 .因此理论的最少比较次数就是：。能够发现当n=4时，理论比较次数为 , 向上取整就是5，跟咱们的电路中用到的比较器个数相同。可是当n=8时，理论的最少比较次数是 ,也就是须要16次比较。那为何咱们这里用到了25个比较器呢？实际上这是由于题目限制了咱们只能使用比较器，而要实现理论最小的比较次数还须要其余逻辑的支持，好比MUX。因此上述19个比较器只是归并排序算法的一种硬件实现方式，但并不必定是比较次数最少的硬件实现方式（考虑使用其余逻辑的话）。

PS: 5个数排序的理论最少排序次数（7）的一种比较逻辑：5个数排序最少比较次数^[1]

使用这种方法推导8个数的最少比较次数能够得出最少须要18次，但仍然不是理论最少的。听说理论最少的比较次数并不必定能达到。

参考资料

[1]

5个数排序最少比较次数: https://blog.csdn.net/x_i_y_u_e/article/details/45059725?utm_medium=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.edu_weight&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.edu_weight

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