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小宇：闪客，我最近在研究动态规划，但感受就是想不明白，你能不能给我讲讲呀？算法
闪客：没问题，这个我擅长，你先说说提到动态规划，你最早想到的是什么？编程
小宇：就什么子问题呀、状态转移方程呀乱七八糟的，哎呀不行不行，我一想到这些脑子又嗡嗡响了。app
闪客：你先别急，你先把全部的名词都抛在脑后，听我讲。ide
小宇：好滴，你说吧。spa
闪客：小宇我问你，从 1 一直加到 100 等于多少？3d
1 + 2 + 3 + ... + 100 = ？code
小宇：5050！server
闪客：你这，怎么不按套路出牌呀，你应该说不知道。blog
小宇：人家高斯早就算出来了，我还装不知道，这也太假了吧。递归
全剧终...
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闪客：好吧，那我再给你出一个题。
小宇：行，你说吧，这回我确定说不知道。
闪客：一个楼梯有 10 级台阶，你从下往上走，每跨一步只能向上迈 1 级或者 2 级台阶，请问一共有多少种走法？
小宇：额，这我真不知道了，我想一想哈。
小宇：不行了不行了，实在想不明白，想了后面的就忘了前面的。
闪客：你仍是陷入了穷举的思想，你仔细想一想我给你出的第一个题，看看有没有思路。
小宇：啊！原来是有关联的呀。
闪客：对呀，我原本想说假如我告诉你 1+...+99 是多少，你是否是就直接能算出 1+...+100 的值了。
小宇：哦你这么一提示我有点感受了！要想走到第 10 级台阶，要么是先走到第 9 级，而后再迈一步 1 级台阶上去，要么是先走到第 8 级，而后一次迈 2 级台阶上去。
闪客：太棒了！你找到感受了！接着往下说。
小宇：这样的话，走到 10 级台阶的走法数，就等于走到 9 级台阶的走法数，加上走到 8 级台阶的走法数。
闪客：很好，那假如走到第 x 级台阶的走法数咱们定义为 F(x)，那你能把刚刚的描述公式化么？
小宇：那太简单了，公式就是：
F(10) = F(9) + F(8)
闪客：没错，并且不光是 10 级台阶如此，走到任何一级台阶的走法数，都符合这个逻辑，所以就能够得出一个通用公式：
F(x) = F(x-1) + F(x-2)
小宇：嗯嗯，这样计算 F(10)，只须要知道 F(9) 和 F(8) 就能够了，而计算 F(8)，就只须要知道 F(7) 和 F(6) 就能够了，依次类推。
闪客：没错，那你想一想看 F(2) 和 F(1) 怎么计算？
小宇：简单，仍是刚刚都逻辑被，想知道 F(2)，只须要知道 F(1) 和 F(0)，诶不对 F(0) 是什么鬼？还有 F(1) 的计算须要知道 F(0) 和 F(-1)，不行呀，这解释不通了。
闪客：哈哈，别急，在这道题里，若是只迈到 1 级台阶，那一共就一种走法；若是只迈到 2 级台阶，就只有两种走法。能够直接很直观地得出，不必推导。
小宇：哦哦我懂了，这道题里因为每个递推项都须要前两项的支持，因此必须有最开头的两项做为已知，就是你说的 F(1) = 1 和 F(2) = 2。
闪客：没错。
小宇：嗯嗯，感受这样就推出所有结果了！我写一下程序你看看。
闪客：先别急，因为这道题是一道经典的动态规划题，因此咱们以这道题为例子来定义动态规划的三要素，在本题中
F(x-1) 和 F(x-2) 被称为 F(x) 的最优子结构
F(x) = F(x-1) + F(x-2) 叫状态转移方程
F(1) = 1, F(2) = 2 是问题的边界
以后作动态规划问题，只要找好这三个要素就行了。
小宇：哇，升华了诶，逼格瞬间高了很多呢。
闪客：先别说这些废话了，那接下来你看看能不能写出程序，计算出 F(10) 的结果，这才是难点。
小宇：编程的话这彷佛是个递归问题，简单！
int getWays(int n) { if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } return getWays(n-1) + getWays(n-2); }
闪客：嗯不错，这样很简洁，但复杂度过高了，是 O(2^n)，具体你能够以后想一想为何。如今你看看能不能将复杂度下降。
小宇：我想一想看，计算 F(10) 时须要计算 F(9) 和 F(8)，而在递归计算 F(9) 时要计算 F(8) 和 F(7)，这样 F(8) 在这里重复计算了，浪费了时间。
闪客：没错，其实计算新一个阶段的值，只须要一直将其前两个阶段的值保存起来，就能够一直算到最终的结果了。好比定义两个变量 a 和 b 用于存储前两个阶段的值，在计算 F(3) 时。
计算 F(4) 时，F(1) 的值就不用保存了，a 和 b 依次替换新值。
依此类推，最终就算出了 F(10) 的值。
固然你也能够把以前的值都保留，但这样就增长了空间复杂度，看你的需求了。
小宇：好的，那这样代码也很好写，就这样。
int getWays2(int n) { if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } int a = 1; int b = 2; int temp = 0; for (int i = 3; i <= n; i++) { temp = a + b; a = b; b = temp; } return temp; }
闪客：不错，这就是这道题正确的动态规划解法，并且时间复杂度是 O(N)，空间复杂度是 O(1)
小宇：哇，这就是动态规划呀，原来这么简单。
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闪客：不错，动态规划理解起来不难，难在当须要考虑的因素，也就是变化的维度多起来的时候，有的人就会头脑发蒙，很差找递推公式了，并且这也确实是个难点。
小宇：哦是吗？
闪客：那固然，我再给你出一道题。
小宇：来吧兄弟。
闪客：咳咳，那你听好了。
有一个背包，能够装载重量为 5kg 的物品。
有 4 个物品，他们的重量和价值以下。
那么请问，在不得超过背包的承重的状况下，将哪些物品放入背包，可使得总价值最大？
小宇：明白了，就是我用这个背包最多能装走多少钱的东西。
闪客：是的。
小宇：哎呀不行，我又陷入走楼梯时的遍历思想了。
闪客：不要紧，这道题能想出遍历思想，其实也不容易了，你能够先说一下，找找感受。
小宇：嗯嗯，那就是每一个物品均可以有放入背包和不放入背包两种选择。
若是总重量超过了背包承重，那就不算，或者说将价值记为 0，而后将全部状况中价值最大的那个做为结果。
这样的复杂度也很容易得出，就是 O(2^N)
闪客：没错，这个复杂度很高的算法你已经说的很明白了，那接下来你想一想看用动态规划思想，能不能解决这个问题。
小宇：好的，你以前说过，动态规划的三要素是最优子结构、状态转移方程和边界
闪客：没错，以前的变量不多因此比较简单，如今变量多了，定义就变得难了起来，咱们先来几个定义方便描述。咱们将 4 个物品的重量和价值分别表示为：w1，w2，w3，w4，v1，v2，v3，v4。
假如咱们用
F(W,i)
表示
用载重为 W 的背包，装前 i 件物品的最大价值
那本题其实就是
用载重为 5kg 的背包，装前 4 件物品的最大价值
其实就是求解
F(5,4)
你能找到状态转移方程么？
小宇：我想一想，单看这个物品 4，有两种可能：
第一种可能：若是选择把它装入背包，那已经获得了 6 元钱。
此时背包剩余载重为 1kg（5kg-4kg），剩余物品是除去物品 4 后的前 3 件物品。
那这部分能获取到的最大价值，至关于
用一个载重为 1kg 的背包，装前 3 件物品的最大价值
哇，那这部分就是
F(1,3)
闪客：哈哈，你这本身说着说着就说对啦！
小宇：因此最终，若是选择将物品 4 放入背包，这种状况下，最大价值就等于两者之和。
F(1, 3) + 6
闪客：太好了小宇，那另外一种状况呢？
小宇：第二种可能：若是选择不装这个物品 4，那更简单了，就直接等于用一个载重为 5 的背包装前 3 件物品的价值。
F(5, 3)
闪客：没错，并且就只有这两种状况！因此你看看 F(5,4)是否能用这两种状况的值表示呢？
小宇：哈哈，很简单，就等于这两种状况当中的最大值呗。
F(5,4) = max { F(1, 3) + 6，F(5, 3) }
闪客：太好了，如今状态转移方程出来了，此时咱们画个表格。
咱们的目标就是要计算右下角那个值，即背包载重 W = 5 时，选择前 4 件物品放入背包的最大价值 F(5,4)
小宇：哇这个表格好清晰呀，根据上面的公式
F(5,4) = max { F(1,3) + 6, F(5,3) }
那也就是说只要知道 F(1,3) 和 F(5,3) 的值就能够了对吧？
闪客：没错，那你再看看 F(1,3) 怎么计算？
小宇：好的，F(1,3) 此时背包重量为 1，若是选择放第三件物品的话，诶？好像不行，第三件物品根本放不下呀！
闪客：是的，因此这种状况就不必讨论放第三件物品的状况了，由于根本放不下，所以 F(1,3) 直接就等于 F(1,2)，因此只须要知道 F(1,2) 便可。
同理 F(1,2) 也直接等于 F(1,1)，由于在背包重量为 1 时第二件物品也放不下。
闪客：小宇你想一想看，那 F(1,1) 又等于什么呢？
小宇：显然嘛，如今只有一件物品能够选了，那能放下固然就放咯，因此最大价值就是第一件物品的价值 3，即 F(1,1) = 3
闪客：没错，这样咱们就找到了一个边界值，小宇你想一想看还有哪些边界值能够直接得出？你写在表格里吧。
小宇：好的，首先第一列表示背包重量为 0 时的状况，那显然什么都装不了，就全都是 0 了。
而后第一行也比较好算，背包重量 >= 1 时能够放下第一件物品，因此最大价值都等于 3
闪客：很好，接下来，就依次把表格的全部项都填出来，天然就能够算出 F(5,4) 啦。
小宇：哇塞，这样看好清晰呀！
闪客：是呀，不过刚刚咱们用的都是具体的数字，那咱们试着把这个问题抽象化，用一个载重为 W 的背包，装载 N 件物品，每件物品的重量和价值分别用 wi 和 vi 来表示，那刚刚的状态转移方程是什么呢？
小宇：emm，刚刚 F(5,4) = max { F(1,3) + 6, F(5,3) }，若是都用变量表示的话，就是
F(W,N) = max { F(W-wn, N-1) + vn，F(W, N-1) }
闪客：很好，这就是状态转移方程。
F(W-wn, N-1) 和 F(W, N-1) 就是 F(W,N) 的最优子结构。
而刚刚表格中的第一行和第一列，即 F(0,...) 和 F(...,1) 就是边界值！
小宇：哇塞我爱你闪客！终于有点理解动态规划的思想了呢！
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闪客：别高兴太早，虽然过程看着清晰了，但代码写起来仍是有难度的，你今天回去就把代码试着实现一下吧。
小宇：好的，保证完成任务。
闪客：快到晚饭时间了，旁边新开了家饺子馆，要不要一块去吃呀？
小宇：哦不了，晚上想利用晚饭时间再去消化消化动态规划的知识，不是还得代码实现呢么，下次吧，
闪客：哦好吧~
后记
本文经过直观演示 01 背包问题的解题思路，简单说明了动态规划思想的算法核心。可能很多人以为动态规划难在理解，因此花不少时间在理解其思想上。但其实理解核心思想，这一篇文章就够了，更多的是经过不断作题，反过来帮助本身理解动态规划的思想。因此但愿读者在读完本文后，和小宇同样，动手将其代码实现，并找来其余变种题目，继续巩固。