建设城市（city）（【CCF】NOI Online 能力测试2 入门组第三题 ）

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题目描述

球球是一位建筑师。一天，他收到市长的任务：建设城市。球球打算建造 2n 座高楼。为了保证城市美观，球球作出了以下计划：

1. 球球喜欢整齐的事物。他但愿高楼从左向右排成一行，编号依次为 1∼2n。
2. 球球喜欢整数，他要求每座高楼的高度都是正整数。
3. 因为材料限制，高楼的高度没法超过 m。
4. 球球喜欢中间高，两边低的造型。他要求前 n 座高楼的高度不降低，后 n 座高楼的高度不上升。
5. 球球打算选两座编号为 x,y 的高楼做为这座城市的地标。他认为只有当这两座高楼高度相等时，才会让城市变得美观。

球球把本身的想法告诉了市长。市长但愿得知全部建设城市的方案数。两种方案不一样，当且仅当某座高楼的高度在两个方案中不一样。这个问题可难倒了球球。球球找到了你，但愿你能帮他算出答案。因为答案可能很大，你只须要给出答案对 998244353 取模后的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

仅一行四个整数 m,n,x,y，变量意义见题目描述。

输出格式

输出到标准输出。

仅一行一个整数表示答案。

样例1输入

3 2 1 3

样例1输出

10

样例1解释

全部的方案为：{1,1,1,1}，{1,2,1,1}，{1,3,1,1}，{2,2,2,1}，{2,2,2,2}，{2,3,2,1}，{2,3,2,2}，{3,3,3,1}，{3,3,3,2}，{3,3,3,3}。

样例2输入

1000 1000 535 1477

样例2输出

295916566

思路分析： 

1.只在1~4的条件下（先不考虑x,y）若是一块区域有 n 栋高楼，m 个高度能够选，则至关于 n个相同的球放入 m 个不一样的盒子 的方案数,因为楼的高度能够相等，则至关于n+m个相同的球放入 m 个不一样的盒子 的方案数,每一个盒子至少放一球。由插板法可知方案数

 

2.再考虑条件5，题目没有告诉咱们 x,y 是否在 n 的两侧，因此要分状况讨论

    (1)case1:x≤n<y

    枚举 x,y的高度。假设当前 x,y的高度为 i，则：

• x 左边的 x-1个高楼高度范围为 [1,i]。
• x 右边 n 左边（包含 nn）的 n-x个高楼高度范围为 [i,m]。
• n 右边（不包含 n）y左边的 y−n−1 个高楼高度范围为 [i,m]。
• y 右边的 2n-y个高楼高度范围为 [1,i]。

    根据乘法原理，将以上四种状况相乘便可。

    (2)Case 2：y≤n 或 x,y>n。

      将 [x,y] 中间的高楼当作一个高楼，则至关于

 

 

#include<iostream>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int m,n,x,y;
long long int ans=0;

int inverse(int x,int mod) {
    int power=mod-2;
    x %= mod;
    int num = 1;
    for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= mod)
        if(power & 1) (num *= x) %= mod;
    return num;
}

int cn(int a,int b)//组合数计算 
{
	int sum=1;
	for(int i=1;i<=b;i++)
	{
		sum=sum*(a-b+i)%mod;
		sum=sum*inverse(i,mod)%mod;//求i模mod的逆元 
	}
	return sum; 
}

int main()
{
	cin>>m>>n>>x>>y;
	if(x<=n&&y>=n)//case1状况 
	{
		for(int i=1;i<=m;i++)
			ans+=cn(x+i-1,i-1)*cn(n-x+m-i,m-i)*cn(y-n+m-i,m-i)*cn(2*n-y+i-1,i-1)%mod;
		cout<<ans;
	}
	else
	{
		ans=cn(n+m-1,m-1)*cn(n+m-1-x+y,m-1)%mod;
		cout<<ans;
	}
	return 0;
	
 }

 

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