素数断定算法
1. 素数断定问题html
素数断定问题是一个很是常见的问题，本文介绍了经常使用的几种断定方法。算法
2. 原始算法数据结构
素数的定义是，除了能被1和它自己整除而不能被其余任何数整除的数。根据素数定义 只须要用2到n-1去除n，若是都除不尽，则n是素数，不然，只要其中有一个数能整除则n不是素数。app
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bool
is_primer1(
int
num) {
int
i;
for
(i = 2; i < num; i++) {
if
(num % i == 0) {
return
true
;
}
}
return
false
;
}
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3. 改进算法post
n不是素数，则n可表示为a*b，其中2<=a<=b<=n-1,则a，b中必有一个数知足：1<x<=sqrt(n)，于是，只须要用2~sqrt(n)去除n，这样就获得一个复杂度为O(sqrt(n))的算法优化
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bool
is_primer2(
int
num) {
int
i;
int
upper =
sqrt
(num);
printf
(
"primer2:%d\n"
, upper);
for
(i = 2; i <= upper; i++) {
if
(num % i == 0) {
return
true
;
}
}
return
false
;
}
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4. 筛选算法url
更高效地素数判断方法应该是将素数预先保存到一个素数表中，当判断一个数是否为素数时，直接查表便可。这种方法须要解决两个问题：spa
(1) 怎样快速获得素数表？（采用筛选方法）.net
(2) 怎样减小素数表的大小？（采用位图数据结构）code
对于1到n所有整数，逐个判断它们是不是素数，找出一个非素数，就把它挖掉，最后剩下的就是素数。具体方法是：
<1> 定义is_primer[i] = true;
<2> 从2开始，依次遍历整个is_primer(直到sqrt(N))，若是is_primer[i]=true,则is_primer[n*i]=false
如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，则
从2开始遍历：
is_primer[2]=true，则is_primer[4]= is_primer[6]= is_primer[8]= is_primer[10]= true
is_primer[3]=true，则is_primer[6]= is_primer[9]= true
为了减小内存使用率，算法使用了位图数据结构，关于位图，可参考：http://dongxicheng.org/structure/bitmap/
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bool
load_primer_table1() {
//保存素数表
int
i;
for
(i = 1; i < INT_MAX; i++) {
if
(i % 2 != 0
//偶数必定不是素数
&& is_primer2(i)) {
set(i);
}
}
}
bool
load_primer_table2() {
//另外一种更快的方法保存素数表
int
i, j;
for
(i = 1; i <= INT_MAX; i++) {
if
( i % 2) {
set(i);
}
else
{
clear(i);
}
}
int
upper =
sqrt
(INT_MAX);
for
(i = 1; i <= upper; i++) {
if
(test(i)) {
for
(j = i + i; j < INT_MAX; j += i)
set(i);
}
}
}
bool
is_primer3(
long
num) {
//查表判断是否为素数
if
(test(num))
return
true
;
return
false
;
}
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5. 优化的筛选算法
(1) 存储方式优化
仍然采用位图方式存储，只不过是位图中只存储奇数，这样一会儿节省了一半空间（须要的空间仅为4G/(32*2)=64MB）
存储空间优化后，算法效率也会提高不少，如：1,2，…,30
只需存储3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29
i=0, is_primer[0] =true, 把下标[3][6][9][12]，即9,15,21,27,标为false
i=1, s_primer[0] =true,把下标为[6][11],即15,25标为false
i=2, 2*i+3>sqrt(30),结束
即：i=s, 把下标为s(2*t+1)+3t,其中，t=1,2,3，…中全部的的is_primer置为false
(2) 优化删选算法
a是素数，则下一个起点是a*a,把后面的全部的a*a+2*i*a筛掉。即欲求n之内的素数，就先把sqrt(n)内的素数求出来，用已经求得的素数来筛出后面的合数。
6. 总结
至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出全部的素数。关于素数的不少的有趣的性质或者科学家的努力，如：
(1) 高斯猜想，n之内的素数个数大约与n/ln(n)至关，或者说，当n很大时，二者数量级相同。这就是著名的素数定理。
(2) 十七世纪费马猜想，2的2^n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，惋惜当n=5时，2^32+1就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。
(3) 18世纪发现的最大素数是2^31-1，19世纪发现的最大素数是2^127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2^859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。
(4) 孪生素数猜测：差为2的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是1159142985×2^2304－1和1159142985×2^2304＋1。
(5) 歌德巴赫猜测：大于2的全部偶数均是两个素数的和，大于5的全部奇数均是三个素数之和。其中第二个猜测是第一个的天然推论，所以歌德巴赫猜测又被称为1+1问题。我国数学家陈景润证实了1+2，即全部大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。国际上称为陈氏定理。（摘自《http://chuanbindeng.blog.163.com/blog/static/67886226200982892139468/》）
7. 参考资料
http://www.doc88.com/p-5780302974.html
http://chuanbindeng.blog.163.com/blog/static/67886226200982892139468/