高精度算法

　　****使用高精度算法的理由****

　 在C/C++中经常使用的数据类型有int和long long.int占用一个机器字长,在32位系统中int占4个字节,范围为[-2^-31,2³¹-1];long long占用8个字节,范围为[-2⁶³,2⁶³-1].一旦超过这两种数据类型的范围则不可以知足特定数据要求.好比数据2¹⁰⁰数量级不可以知足要求,这一类型所以被称为高精度或大数类型.高精度有加减乘除类型.

　　****高精度加法****

　　题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P1601

　　求解A+B：（1）输入两个正数a,b,输出和（a,b≤10⁹）;（2）输入两个正数a,b,输出和（a,b≤10⁵⁰⁰）

　　以下图（左）所示,算法核心为红色笔记部分,既要实现a[i]与b[i]的相加,又要实现进位和本位的输出考虑.在程序考虑时,若是输入数为1234和827这组数据,以下图（右）将1234的1认为数组的第0位,827的8认为数组的第0位,则会致使相加错误,正确的操做应如图中紫色部分所示,对数据进行转置，将1234中的第0位认为是4,827中的第0位认为是7.

 

　　              

 　　具体代码以下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;  3 //采用数组模拟高精度类型 
 4 char s1[505],s2[505];  5 int a[505],b[505],c[505];  6 
 7 int main(void)  8 {  9     int la,lb,lc; 10     memset(c,0,sizeof(c)); 11     scanf("%s",s1); //输入字符s1 
12     scanf("%s",s2); //输入字符s2 
13     
14     la = strlen(s1); 15     lb = strlen(s2); 16     
17     //将字符转换为数字而且转置 
18     for(int i = 0; i < la; i++) 19         a[la-i] = s1[i] - '0'; 20     for(int i = 0; i < lb; i++) 21         b[lb-i] = s2[i] - '0'; 22     
23     lc = max(la,lb) + 1; 24     for(int i = 1; i <= lc; i++) 25  { 26         c[i] += a[i] + b[i]; 27         c[i+1] = c[i] / 10; 28         c[i] = c[i] % 10; 29  } 30     
31     if(c[lc] == 0 && lc > 0) 32     //删除前导0,lc>0是防止0+0=0的状况 
33         lc--; 34     for(int i = lc; i > 0; i--) 35         printf("%d",c[i]); 36         
37     return 0; 38 } 39  

 

　　****高精度减法****

　　题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P2142

　　求解A-B，须要注意：（1）若是a<b，则须要交换a与b;（2）若是a[i]<b[i]，须要高位借1当10使用.

　　具体代码以下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;  3 
 4 char s1[10090],s2[10090],s3[10090];  5 int a[10090],b[10090],c[10090];  6 int flag = 0;  7 bool compare(char s1[],char s2[])  8 {  9     //若是s1>=s2返回T,不然返回F.
10     int u = strlen(s1),v = strlen(s2); 11     if (u != v) return u > v; 12     //u>v返回T,u<v返回F 13     //u=v时进行比较 
14     for(int i = 0; i < u; i++) 15         if(s1[i] != s2[i]) 16             return s1[i] > s2[i]; 17     return true; 18 } 19 
20 int main(void) 21 { 22     int la,lb,lc; 23     scanf("%s",s1); 24     scanf("%s",s2); 25     
26     if(!compare(s1,s2)) 27  { 28     //若是s1<s2则交换,利用复制方式 
29         flag = 1; 30  strcpy(s3,s1); 31  strcpy(s1,s2); 32  strcpy(s2,s3); 33  } 34     
35     la = strlen(s1); 36     lb = strlen(s2); 37     lc = max(la,lb); 38     
39     //字符转数字并转置 
40     for(int i = 0; i < la; i++) 41         a[la-i] = s1[i] - '0'; 42     for(int i = 0; i < lb; i++) 43         b[lb-i] = s2[i] - '0'; 44     
45     for(int i = 1; i<= lc; i++) 46  { 47     //若是a[i]<b[i]则借位 
48         if(a[i] < b[i]) 49  { 50             a[i+1]--; 51             a[i] += 10; 52  } 53         c[i] = a[i] - b[i]; 54  } 55     
56     while(c[lc] == 0 && lc > 1) lc--; 57     if(flag == 1) printf("-"); 58     //若是是负数先输出负号
59     for(int i = lc; i > 0; i--) 60         printf("%d",c[i]); 61     return 0; 62 }

 

　　****高精度乘法****

　　题目：求两个不超过200位的非负整数的积.

　　求解a*b,以下图所示为a4a3a2a1 * b2b1的计算过程,可见c1=a1*b1,c2=a2*b1+a1*b2,c3=a3*b1+a2*b2,c4=a4*b1+a3*b2，_{c5=a4*b2,通过分析能够获得图中紫色部分结论，ai*bj对应位为c_{i+j-1}.乘法运算一样须要知足加法高精度中的规则.}

 

 　　具体代码以下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;  3 
 4 char s1[2005],s2[2005];  5 int a[2005],b[205],c[2005];  6 
 7 int main(void)  8 {  9     int la,lb,lc; 10     scanf("%s",s1); 11     scanf("%s",s2); 12     
13     la = strlen(s1); 14     lb = strlen(s2); 15     lc = la + lb; 16     
17     for(int i = 0; i < la; i++) 18         a[la-i] = s1[i] - '0'; 19     for(int i = 0; i < lb; i++) 20         b[lb-i] = s2[i] - '0'; 21     
22     for(int i = 1; i <= la; i++) 23  { 24         for(int j = 1; j <= lb; j++) 25  { 26             c[i+j-1] += a[i]*b[j]; 27             c[i+j] = c[i+j-1] / 10; 28             c[i+j-1] %= 10; 29  } 30  } 31     
32     if(c[lc] == 0 && lc > 0) lc --; 33     for(int i = lc; i > 0; i--) 34         printf("%d",c[i]); 35         
36     return 0; 37 }

 

　　****高精度除法****

　　题目1：https://www.luogu.com.cn/problem/P1480

　　题目2：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1308

　　A/B须要考虑高精度/高精度和高精度/低精度两种状况,高精度除以低精度采用逐位试商法;高精度除以高精度采用减法模拟除法.

　　以下图所示，针对题目1的a÷b，a为大数（高精度，数组模拟），b为小数（long long类型）

 

                                           

 

 　　题目1中的代码具体以下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;  3 
 4 char s1[5005];  5 long long b,c[5005],a[5005],la,lc;  6 
 7 int main(void)  8 {  9     long long x = 0; 10     scanf("%s",s1);//被除数 
11     scanf("%d",&b);//除数
12     
13     la = strlen(s1); 14     //区别于其余加减乘操做 15     //将如输入的1234字符依次按顺序 16     //放入a数组中 
17     for(int i = 1; i<=la; i++) 18         a[i] = s1[i-1] -'0'; 19         
20     for(int i = 1; i <= la; ++i) 21     //商最多有la位 
22  { 23         c[i] = (x * 10 + a[i]) / b; 24         x = (x * 10 + a[i]) % b; 25  } 26     
27     //删除前导零 
28     lc = 1; 29     while(c[lc] == 0 && lc < la) 30         lc++; 31     
32     for(int i = lc; i <= la; ++i) 33         printf("%d",c[i]); 34     
35     return 0; 36 }

 

　　下面对高精度除以高精度的状况进行分析，举个案例解释，如531518/123的案例，531518为高精度被除数，123设为很大的高精度除数，这时能够采用下图的①-④步骤进行处理，即将531518和填补至相同位数的123000进行减法处理，通过四次减法后获得的数的位数要比原来531518的位数即6位小，所以4做为商的最高位。次高位等位的处理如后续②③④同理可得。

                                             

 

　　531518÷123=4321.....35

　　其中c的位数为la-lb+1，上述案例中c的位数至多有4位设为c1c2c3c4（c4为高位）.

　　上述过程能够用下列伪代码进行表示：

//高位c[4]的来源
a = 531518; tmp = 123000;（将123左移3位） while a >= tmp: c[4]++; a = a - tmp;（须要用到高精度减法） //c[3]的来源
a=39518; tmp=12300;（将123左移两位） while a >= tmp: c[3]++; a = a - tmp;（须要用到高精度减法） //c[2]的来源
a=2618; tmp=1230;（将123左移1位） while a >= tmp: c[2]++; a = a - tmp;（须要用到高精度减法） //c[1]的来源
a=158; tmp=123;（将123左移0位） while a >= tmp: c[1]++; a = a - tmp;（须要用到高精度减法） //上述结构能够用如下循环表示：
a = 531518; for(i=lc;i>=1;i--) { tmp=0； tmp=123 左移 i-1位； while a >= tmp: c[i]++; a = a - tmp;（须要用到高精度减法） }

 　　最终代码以下：

 1 //高精度除以高精度求它们的商和余数  2 //输入两个低于300位的正整数
 3  
 4 #include <bits/stdc++.h>
 5 using namespace std;  6 
 7 char s1[305],s2[305];  8 int a[305],b[305],c[305],tmp[305];  9 
10 void init(int *x) 11 { 12     char s[305]; 13     scanf("%s",s); 14     x[0] = strlen(s); 15     for(int i = 0; i < x[0]; i++) 16         x[x[0]-i] = s[i] - '0'; 17     //字符转为数字而且倒序存储 
18 } 19 
20 //输出 数组第0位存储长度 
21 void print(int a[]) 22 { 23     if(a[0] == 0) 24  { 25         printf("0"); 26         return; 27  } 28     for(int i = a[0]; i > 0; i--) 29         printf("%d",a[i]); 30     return; 31 } 32 
33 //比较大小 
34 int compare(int a[],int b[]) 35 { 36     if(a[0] > b[0]) 37         return 1; 38     if(a[0] < b[0]) 39         return -1; 40     for(int i = a[0]; i > 0; i--) 41  { 42         if(a[i] > b[i]) 43             return 1; 44         if(a[i] < b[i]) 45             return -1; 46  } 47     return 0; 48 } 49 
50 //减法处理
51 void minu(int a[],int b[]) 52 { 53     for(int i = 1; i <= a[0]; i++) 54  { 55         if(a[i] < b[i]) 56  { 57             a[i+1]--; 58             a[i] = a[i] + 10; 59  } 60         a[i] = a[i] - b[i]; 61  } 62     while(a[a[0]] == 0 && a[0] > 0) 63         a[0]--; 64 } 65 
66 //将p数组移动n位至q数组 
67 void numcpy(int p[],int q[],int n) 68 { 69     for(int i = 1; i <= p[0];i++) 70         q[i+n-1] = p[i]; 71     q[0] = p[0] + n - 1; 72 } 73 
74 
75 int main(void) 76 { 77  init(a); 78  init(b); 79     c[0] = a[0] - b[0] + 1; 80     
81     //代码的核心 
82     for(int i = c[0]; i >= 1; i--) 83  { 84         memset(tmp,0,sizeof(tmp)); 85  numcpy(b,tmp,i); 86         while(compare(a,tmp) >= 0) 87  { 88             c[i]++; 89  minu(a,tmp); 90  } 91  } 92     
93     while(c[c[0]] ==0 && c[0] > 0) 94         c[0]--; 95     print(c);//商 
96     printf("\n"); 97     print(a);//最后的a为余数 
98     return 0; 99 }

 

****参考文献****

[1] 麦克老师讲算法-高精度算法全套（加减乘除，全网最详细）https://www.bilibili.com/video/BV1LA411v7mt?p=5