从拥挤的兔子到伪随机数算法

时间 2019-11-17

标签拥挤兔子随机数算法繁體版

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写于2017年7月30日。阅读《复杂》一书时的笔记及延伸。本文涉及到的生态学、数学、计算机科学部分都比较肤浅，若有错漏，欢迎斧正。javascript

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又是兔子

咱们多少接触过这样一个问题：java

第一个月初有一对刚诞生的兔子
第二个月以后（第三个月初）它们能够生育
每个月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
兔子永不死去

问：第n月时，一共有多少只兔子？算法

对，描述兔子数量的数列就是咱们熟悉的斐波那契数列，不少人都是经过这个问题了解递归的吧（也许吧，也多是Tower of Hanoi）？dom

不过兔子怎么可能“永不死去”呢！那咱们如今开始考虑兔子的出生率和死亡率。先从容易的来：每对兔子父母每一年生四只小兔，而后死去。若是一开始有两只兔子（第0年），那么第1年会有四只兔子，第二年会有8只兔子……每一年兔子的数量会翻一番。记第 t 年的兔子数量为，那么： $n_t=2 \cdot n_{t-1}$ ，即 $n_t = 2^t\cdot n_0$ 。很显然，若是不受限制，兔子的数量会愈来愈多，最终撑满这个星球，乃至整个宇宙。性能

假如咱们考虑种群数量增加所受的限制呢？可想而知，若是种群数量愈来愈多，也许不少小兔子因为太过拥挤，缺乏食物和空间，没有繁殖就死去。整个种群的数量就不会呈现上述无限增加的状况了。生物学家用一种叫 logistic model 的简化方式来描述这种状况下的群体增加： $n_{t+1} = (r_{born}-r_{die})\cdot(k\cdot n_t-n_t^2)/k$ 。其中，为这一代的种群数量， $r_{born}$ 为出生率， $r_{die}$ 为死亡率，为承载能力。spa

举个例子，若是出生率为2，死亡率为0.4，承载力为32，第1代有20只兔子，套用上面的模型，那么第2代有12只兔子；再把这个结果代入计算，会得出第三代仍然有12只兔子；今后种群数量维持在12。code

若是咱们改变一些参数，好比把死亡率降到0.1，那么依据模型计算，第2代有14.25只兔子，第三代为15.01816只兔子（不要在乎兔子的数量为何能够是小数）。实际上咱们的计算过程是把这一代的计算结果代入模型公式，计算下一代的结果，这个重复不断的过程就是迭代，对模型进行迭代。cdn

logistic map

由 logistic model 进行迭代计算仍是有些麻烦，咱们能够再进行一点简化：把出生率和死亡率合成一个变量，种群数量由承载率（当前种群数量与最大可能的种群数量的比率）代替，，因为当前种群数量老是介于0和之间，因此老是介于0和1之间。blog

那么咱们就能够把上面的logistic model的公式改写一下，因而咱们有： $x_{t+1}=R \cdot x_t \cdot (1-x_t)$ 。这个方程称为logistic map，是动力系统理论和混沌研究中的一个重要方程。

若是咱们让值变化，那么logistic map就颇有趣了。

不妨先假定，咱们发现，无论的初始值是什么（先用0.2试试吧），最后总会达到同一个固定的值：

\begin{gathered}
x_0=0.2 \\ x_1=0.32 \\ x_2=4352 \\ x_3=0.4916019 \\ x_4=0.4998589 \\ x_5=0.5 \\ x_6=0.5 \\ ...
\end{gathered}

不一样的初始值只会让到达0.5的速度有快有慢，但通过若干步骤后，都会到达0.5。那么这个0.5就称为不动点（fixed point）。

咱们把的值调大，也许这样的不动点依而后存在，但到达不动点的速度会愈来愈慢。假如，咱们再来看看，会发现状况彷佛不太同样了：

R=3.1，x₀=0.2

的值最终会在0.5580141和0.7645665之间振荡。咱们称之为吸引子。

随着值的变化，情形会更加复杂。我从wikipedia上把结论摘录以下：

0和1之间：不论初始值数值为什么，会愈来愈少，最后趋近于0。
1和2之间：不论初始值数值为什么，会快速的趋近。
2和3之间：通过几回迭代，也会愈来愈接近，但一开始会在这个值左右振动，而收敛速率是线性的。
3：仍然会愈来愈接近，但收敛速率极为缓慢，不是线性的。
3和 $1+\sqrt{6}$ （约3.45）之间：针对几乎全部的初始值，最后会在2个值之间持续的震荡，即 x 最后会是a,b,a,b...的变化，其数值和有关。
3.45和大约3.54之间，针对几乎全部的初始值，最后会在4个值之间持续的震荡。
约大于3.54：最后会在8个、16个、32个值……之间持续的震荡，至于什么时候会令的值由 n 个到 2n 个，则和费根鲍姆常数 $\delta = 4.669...$ 有关。
约为3.5699：这样的振动消失，整个系统开始在混沌的状态之中。针对几乎全部的初始值，都不会出现固定周期的震荡，初值再微小的变化，随着时间都会使结果产生明显的差别，这就是典型混沌的特性。
大于3.5699：整个系统在混沌的状态之中。不过，当中有些特定的值仍是使系统变成非混沌，有周期性的结果，这些区间称为“稳定岛”。例如当约大于3.82，会出现3个值的周期，再大一点出现6个值及12个值的周期。
当从大约3.5699到大约3.8284之间，系统混沌性质发展的现象有时会称为Pomeau–Manneville场景，其特征是周期性的震荡和非周期性的行为会穿插出现。此特征能够应用在半导体元件中。也有其余区域会使系统的周期为5个值，无论任意周期都存在某特定的，使周期为指定值。
大于4：针对几乎全部的初始值，系统最后都会超过区间[0,1]而且发散。

彷佛有点枯燥，不过不要紧，咱们来画个图吧，经过图形来了解一下这个混沌系统。取一个超过3.5699，不超过4的值，这里咱们不妨取，仍是令初始值是0.2，那么迭代100次：

R=4，x₀=0.2

一个感受，杂乱无章。对于每一个的值，虽然它能惟一决定下一个的值是什么，但它们却组合成一个看起来很是随机的轨迹。在计算机中，咱们甚至能够用它来生成伪随机数。所以，表面的随机性可能来自很是简单的肯定性系统。

不只如此，对于一个能产生混沌的值，若是初始值有任何的不肯定性，那么必定时间后的轨迹就没法预测了。仍是刚刚的图，咱们考虑稍稍修改一下初始值，好比修改小数点后第10位，假定初始值是0.2000000001会怎么样？这与0.2很是接近，咱们把两条轨迹绘制到一块儿看看：

能够看出，大概在时，两条轨迹已经分开，的值已经没法预测了。实际上只要初始值有不肯定性，无论精确到小数点后多少位，最终都会在大于某个值的时候变得没法预测。

伪随机算法

接下来，咱们就来尝试使用logistic model的混沌特性来实现一种简单的伪随机算法。

function* RandomGenerator() {
  let seed = .2;
  function getNext(x) {
    return 4 * x * (1 - x);
  }
  for (let i = 0; i < 30; i++) {
    seed = getNext(seed);
  }
  while (true) {
    seed = getNext(seed);
    yield seed;
  }
}

const randomGenerator = RandomGenerator();

function random () {
  return randomGenerator.next().value;
}
复制代码

实际上一些常见的伪随机数生成算法，例如线性同余法，也是使用了相似的手段，经过迭代产生混沌系统。而这类的算法所追求的，我以为有三个方面的内容：

统计意义上的随机，即随机数结果分页均匀，不能有所倾向。
更大的循环区间。好比像如上算法，受值和计算机浮点数精度的影响，必定会在某个时刻产生与以前相同的结果，使得迭代进入循环。而用线性同余算法，循环区间则与选取的模数大小相关。
更快的性能。