【复习图论】如何找出一个强连通图的奇环

如何找出一个强连通图的奇环 这个问题来自于《算法概论》的课后习题，我想了2天，最后想出一个可行的办法。 首先，对于环的问题，有两个常规的手段，一个是点染色，还有一个是利用边的分类。边的分类主要是肯定出环的存在性（或位置），而染色，则是区分奇环和偶环的关键，这也是我最后才想到的。 假定强连通有向图G的根是r，设r为红色，那么，咱们从r出发，每走一步，就把脚下的点染色为上一个点的相反的颜色（红变蓝，蓝变红），而且，曾经染色过的点能够重复染色。假设G有一个奇环，设这个奇环为v0，v1，v2.。。vn，v1.。。。而后，咱们会发现，存在一个从r出发的路径，使得v1被染色为红色，同时，也绝对存在一个从r出发的路径，使得v1被染色为蓝色。缘由是，v1处于一个奇环当中，咱们能够借助它来实现这个效果。反过来讲，假设存在一个从r出发的路径，使得某个点vk被染色为红色，同时也存在一个从r出发的路径，使得vk被染色为蓝色，那么，咱们能够判定，一定存在一个包含vk的奇环，这个结论也不难理解。因此，咱们就证实了如下结论： 强连通有向图G含有奇环 等价于 从r出发，可使得某个vk被染色为红色，而且也能够被染色为蓝色。 若是某个vk既能够是红色，又能够是蓝色，就意味着，它的前继结点也知足这个有趣的性质：既能够是红色也能够是蓝色。把这个性质一直往前推，就能够知道，r一定既能够是红色又能够是蓝色！ 若是一条路径会使得某个点曾经被染色为红色和蓝色，那么这个路径咱们称为有趣路径。 由上面的讨论知道，有趣路径的存在性与奇环的存在性，是等价的。 而后，咱们从边的分类去分析。 假设T是G的dfs生成树。显然，T里的点是红蓝相间，梅花间竹的。 也就是说，若是没有那些前向边，反向边和横插边，不管咱们怎么走，都走不出一条有趣路径。而后，咱们逐条边地往T上面增长。 假如咱们增长的是前向边， （1）前向边的两个端点颜色相反，仍是没有有趣路径。 （2）不然，立刻就能够获得一条有趣路径。 假如咱们增长的是前向边， （1）前向边的两个端点颜色相反，仍是没有有趣路径。 （2）不然，立刻就能够获得一条有趣路径。 假如咱们增长的是反向边， （1）反向边的两个端点颜色相反，仍是没有有趣路径。 （2）不然，立刻就能够获得一条有趣路径。 假如咱们增长的是横叉边， （1）横叉边的两个端点颜色相反，仍是没有有趣路径。 （2）不然，立刻就能够获得一条有趣路径。 能够发现，只要碰到了两端点颜色相同的某条非树边，就立刻能够肯定一条有趣路径，从而立刻知道奇环的存在。 反过来讲，若是奇环存在，就必定能够找到两端点颜色相同的某条非树边，由于找不到的话，就确定不存在有趣路径，也就不存在奇环了。 因此，这个寻找强连通图G的奇环的算法就是： 对G进行dfs，同时染色，若是发现两端点颜色相同的某条非树边，就说明有奇环，否则，就说明没有奇环。 题外话： 图的问题，拆分强连通分支，边的分类，删除边，增长边（特别是往dfs和bfs树上面进行的增长边操做），删除点，增长点，还有染色，记录访问和离开时间，某个子图的首个被访问的点，这些都是很重要的思考方向。