乘法器——booth编码

    博主最近在学习加法器、乘法器、IEEE的浮点数标准，做为数字IC的基础。当看到booth编码的乘法器时，对booth编码不是很理解，而后在网上找各类理解，终于豁然开朗。现将一个很好的解释分享给你们，但愿能对你们有所帮助。

    首先，看看这几个公式：

    能够证实的是，这三个公式是相等的，一个有符号的二进制数的补码用公式1来表示，能够等价地写成公式2和公式3。

    布斯编码能够减小部分积的数目（即减小乘数中1的个数），用来计算有符号乘法，提升乘法运算的速度。

    

    如上图所示为二进制乘法的过程，也是符合咱们正常计算时的逻辑，咱们假设有一个8位乘数（Multiplier），它的二进制值为0111_1110，它将产生6行非零的部分积，由于它有6个非零值（即1）。若是咱们利用公式2将这个二进制值改成1000_00-10，其中低四位中的-1表示负1，能够证实两个值是相等的。能够这样简单理解，那就是如今原值得末尾加辅助位0，变为0111_1110_0，而后利用低位减去高位，即获得1000_00-10。这样一变换能够减小0的数目，从而减小加的次数，咱们只需相加两个部分积，可是终的加法器必须也能执行减法。这种形式的变换称为booth encoding（即booth编码），它保证了在每两个连续位中最多只有一个是1或-1。部分积数目的减小意味着相加次数的减小，从而加快了运算速度（并减小了面积）。从形式上来讲，这一变换至关于把乘数变换成一个四进制形式。

    最常常使用的是改进的booth编码。乘数按三位一组进行划分，相互重叠一位。其实就是把公式1重写为公式3。每一组按下表编码，并造成一个部分积。

    再考虑前面说起的8位二进制数0111_1110。从msb到lsb，能够把它分为三位一组首尾重叠的四组：01（1），11（1），11（1），10（0），末尾补了一个辅助位0。根据上表编码获得：10（2），00（0），00（0），-10（-2），或者表示为1000_000-10，这与前面获得结果是同样的。这时，乘2就是移位。因此布斯算法仅涉及加法，减法和移位操做。

    这样一来就很容易理解了。