微分方程、动力系统与混沌导论 第7章 非线性系统[书摘]

第7章 非线性系统

      在本章，咱们开始研究非线性微分方程。对于系统(常系数)系统，咱们总能够找到任一初值问题的显式解，对于非线性系统，这种状况至关少见。事实上，一些基本性质，例如解的存在惟一性，在线性情形下是显然的，而在非线性情形则再也不成立。咱们将看到，有些非线性系统甚至对任何初值问题都无解。另外一方面，有些系统却有无穷多个不一样解。并且即便找到这样系统的一个解，它也不必定对全部时刻有定义。例如，解有可能在有限时间就趋于$\infty$。随之而来，问题就产生了：例如，当系统的初始条件发生哪怕一点微小变化时，将会发生什么？相应的解会连续变化吗？全部的这些问题对线性系统都是清楚的，而对非线性系统则未必。这意味着非线性微分方程的基本理论要比线性的复杂得多。

      实际中产生的大部分非线性系统都是“好的”，也就是说，它们具备解的存在惟一性，当初始条件改变时，解也会随之而连续变化，其它的“天然”性质也将发生变化。这样，咱们就得面临一个选择：给定一个非线性系统，咱们要么简单地向前进行，寄但愿(或者去验证)在每一种特定情形，系统解的行为都很好；在此刻停下来，花些时间来阐述一些必要的假设，以保证给定的非线性系统解的行为很好。

 

7.1 动力系统

      大多数的非线性微分方程系统不可能解析地求解。缘由之一就是，咱们没有足够多具备特定名称的函数来写出这些系统的显式解。一样困难的是，咱们将看到，高维系统可能产生混沌行为，这种性质使得即便知道了显式解，也不会对咱们理解系统的总体行为有什么实质性的帮助(为何呢？)。因而，为了理解这些系统，咱们被迫去寻找另外的办法，这就是在动力系统领域出现的各类技巧。咱们将综合应用分析的、几何的以及拓扑的技巧来获得有关这些方程解的行为的严格结果。

      动力系统是一种描述一个给定空间$S$中全部点随时间旅程的方法。空间$S$能够当作是，好比，某个物理系统的状态空间。数学上，$S$多是欧几里得空间，也多是欧几里得空间的一个开子集(为何要强调是开呢？)，或一些其它空间，如$\mathbb R^3$中的曲面。当咱们考虑力学中产生的动力系统时，空间$S$将是系统全部可能的位置和速度。为了简单起见，咱们将始终假设空间$S$就是欧几里得空间$\mathbb R^n$，但在某些情形，重要的动力行为只局限在$\mathbb R^n$的一个特定子集上。

      给定一个初始位置$\boldsymbol X \in \mathbb R^n$，$\mathbb R^n$上的一个动力系统会告诉咱们$\boldsymbol X$在1个单位时间后在哪里，2个单位时间在哪里，等等。咱们将$\boldsymbol X$的这些新位置记为$\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,$等等。在零时刻，$\boldsymbol X$的位置为$\boldsymbol X_0$。在零时刻前一个单位时刻，$\boldsymbol X$的位置为$\boldsymbol X_{-1}$，通常地，$\boldsymbol X$的“轨线”由$\boldsymbol X_t$给出。若是只是在整数时间值测量位置$\boldsymbol X_t$，咱们就获得一个离散动力系统的例子，咱们将在第15章研究离散动力系统。若是在连续时间$t \in \mathbb R$测量位置$\boldsymbol X_t$，咱们就获得一个连续动力系统。若是系统以一种连续可微的方式依赖于时间，咱们就获得一个光滑动力系统。这是在微分方程系统研究中产生的三种主要类型的动力系统。

      将$t$带到$\boldsymbol X_t$的函数要么是获得$\mathbb R^n$中的一列点，要么是获得$\mathbb R^n$中的一条曲线，不管哪一种情形，它都记录了当时间从$-\infty$跑到$\infty$时，$\boldsymbol X$的生活历史。动力系统的不一样分支须要对$\boldsymbol X_t$怎样依赖于$t$做不一样的假设。例如，遍历理论须要假设这样的函数保持$\mathbb R^n$上的一个测度不变；拓扑动力系统则只需假设$\boldsymbol X_t$是连续变化的。在微分方程情形，咱们一般假设$\boldsymbol X_t$是连续可微的(这三种分支的特色和研究重点是什么呢？)。对每一个时刻$t$，咱们均可以定义映射$\phi_t:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$，它将$\boldsymbol X$映到$\boldsymbol X_t$(就像Markov链同样，从某一时刻，转移到另外一时刻)。因为咱们可将$\boldsymbol X_t$理解成随时间变化的一个状态，指望$\phi_t$是以$\phi_{-t}$为逆就是很天然的事(至关于一条路，能从点$a$走到点$b$，天然，沿同一条路，能够从$b$走到点$a$)。一样地，$\phi_0$一定就是恒等函数$\phi_0(\boldsymbol X) = \boldsymbol X$，而$\phi_t(\phi_s(\boldsymbol X)) = \phi_{t+x}(\boldsymbol X)$也是一个天然的条件。咱们将全部的这些都正式地陈述在下面的定义中。

定义  $\mathbb R^n$上的一个光滑动力系统是指这样的一个连续可微函数$\phi:\mathbb R \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n$，其中$\phi(t,\boldsymbol X) = \phi_t(\boldsymbol X)$知足下面的两条：

      (1)$\phi_0:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$为恒等函数：$\phi_0(\boldsymbol X_0) = \boldsymbol X_0$；
      (2)对全部的$t,s\in \mathbb R$，复合函数$\phi_t \circ \phi_s = \phi_{t+s}$。

      回忆一下，一个函数是连续可微的，若是在整个定义域上，它的全部偏导数都存在而且连续。习惯上，一个连续可微函数是指一个$C^1$函数；若是函数是$k$次连续可微的，它就称为一个$C^k$函数。注意，上面的定义蕴涵着，对于每个$t,\phi_t:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$都是$C^1$的，并且有$C^1$的逆$\phi_{-t}$。

例  对于一阶微分方程$x' = ax$，函数$\phi_t(x_0) = x_0 \exp (at)$给出了这个方程的全部解，并且也定义了$\mathbb R$上的一个光滑动力系统。

例  令$\boldsymbol A$为一$n \times n$矩阵。则函数$\phi_t(\boldsymbol X_0) = \exp (t\boldsymbol A)\boldsymbol X_0$就定义了$\mathbb R^n$上的一个光滑动力系统。显然，$\phi_0 = \exp (0) = \boldsymbol I$，并且在上一章中已经看到：

\[\phi_{t+s} = \exp ((t+s)\boldsymbol A) = (\exp (t \boldsymbol A))(\exp (s\boldsymbol A)) = \phi_t ○ \phi_s.\]

      能够看出，上面两个例子都是与微分方程系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$紧密相关的。通常地，从每一个光滑动力系统均可以以下获得$\mathbb R^n$上的一个向量场(能够经过以上两例验证)：给定$\phi_t$，令

\[\boldsymbol F(\boldsymbol X) = \frac{\text d}{\text d t}\Bigg|_{t=0} \phi_t(\boldsymbol X).\]

因而，$\phi_t$刚好就是与$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的流相应的时间$t$映射。

      反过来，若是微分方程$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的流对全部的时间，其时间$t$映射都有良好的定义，并且是连续可微的，则这个微分方程就生成了一个光滑动力系统。很遗憾，事情并不老是如此。(须要什么条件呢？见前面光滑动力系统的定义!)

 

7.2 存在惟一性定理

      咱们如今转到微分方程的基本定理——存在惟一性定理。考虑微分方程系统

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X).\]

其中$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$。此系统的一个解是指定义在某一区间$J \subset R$上的函数$\boldsymbol X:J \to \mathbb R^n$，使得对全部的$t \in J$，都有

\[\boldsymbol X'(t) = \boldsymbol F(\boldsymbol X(t)).\]

几何上，$\boldsymbol X(t)$是$\mathbb R^n$中的一条曲线，对于全部的$t \in J$，切向量$\boldsymbol X'(t)$都存在而且等于$\boldsymbol F(\boldsymbol X(t))$。像前面几章同样，咱们认为这个向量的基点位于$\boldsymbol X(t)$，因而映射$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$就定义了$\mathbb R^n$上的一个向量场。解$\boldsymbol X:J \to \mathbb R^n$的一个初始条件或一个初值是指形如$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$的一个规定，其中$t_0 \in J,\boldsymbol X_0 \in \mathbb R^n$。为了简单，咱们一般取$t_0 = 0$。微分方程的一个主要问题就是寻找任一初值问题的解，即对每一个$\boldsymbol X_0 \in \mathbb R^n$，肯定系统的解使得它知足初始条件$\boldsymbol X(0) = \boldsymbol X_0$。

      很遗憾，非线性微分方程对某些初始条件可能会没有解(会不会有无穷多个解呢？可能会!)。

例  考虑下面简单的一阶微分方程

\begin{equation}
x’=\left\{ \begin{array}{cl}
1 & \textrm{if }x<0\\
-1 & \textrm{if }x\ge0.\end{array}\right.
\end{equation}

$\mathbb R$上的这个向量场在$x \ge 0$时指向左边，而在$x <0$时指向右边。所以，没有解知足初始条件$x(0) = 0$。事实上，若是有这样的一个解，因为$x'(0) = -1$，它在初始时必定是递减的，可是，对全部取负的$x$，解又必须是递增的，这不可能发生。进一步，还可注意到，任何一个解都不可能对全部时间都有定义(对全部时间都有定义有什么特别意义呢？)。例如，当$x_0 > 0$时，过点$x_0$的解为$x(t) = x_0 -t$，但根据刚才一样的理由，这个解只在$-\infty < t < x_0$时有意义(由于若$t \ge x_0$，其导数应该为1，而不是-1)。

      这个例子中的问题在于向量场在0处并不连续；只要向量场在某点出现间断，咱们就可能面对相邻的向量却指向“相反”的方向，这样就使得解在这些坏点处中断。

      对于非线性微分方程，除了解的存在性问题以外，咱们还会碰到，某些方程对于同一个初值问题可能会有许多不一样的解。

例(本例没看懂!!)  考虑微分方程

\[x' = 3x^{\frac{2}{3}}.\]

恒等于零的函数$u:\mathbb R \to \mathbb R,u(t) \equiv 0$显然是知足初始条件$u(0) = 0$的一个解，而$u_0(t) = t^3$也是知足这个初始条件的一个解(是解吗？)。进一步，对任意的$\tau > 0$，由下式给出的函数

\[u_\tau (t) = \left\{\begin{align} &0 &\text {if}&t \le \tau \\& t-\tau)^3 &\text{if}&t>\tau,\end{align}\right.\]

也是知足初始条件$u_\tau(0) = 0$的解。然而，这个例子中的微分方程在$x_0=0$处是连续的，如今的问题在于$3x^{2/3}$在这点处不可微。

      从这两个例子中能够清楚地看到，为了保证解的存在惟一性，必需要对函数$\boldsymbol F$加上某些条件。在第一个例子中，$\boldsymbol F$在问题点0处不连续，而在第二个例子中，$\boldsymbol F$在0处不可微。这代表$\boldsymbol F$连续可微的假设可能就足以保证解的存在且惟一，这点咱们随后就会看到。幸运的是，应用中产生的不连续可微的微分方程仍是不多的，于是，对于给定的初始条件，不存在解或解不惟一的理解是至关例外的。

      下面就是常微分方程的基本局部定理。

存在惟一性定理  考虑初值问题

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X),\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0,\]

其中$\boldsymbol X_0 \in \mathbb R^n$。假设$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$是$C^1$的，则，首先该初值问题有一个解，其次，只有一个这样的解。更准确地说，存在$a>0$，以及该微分方程知足初始条件$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$的惟一解

\[\boldsymbol X:(t_0-a,t_0+a) \to \mathbb R^n.\]

      该定理的重要证实见第17章。但在这里，咱们能够从直观上来理解这个结论，若是向量场$\boldsymbol F$是$C^1$的，则意味着它比较光滑，而不会有急拐弯的点，这说明按照它的指示，咱们在短期内能够较好地预测将来的线路，并且因为$C^1$的限制，使得在极短的时间内，发展趋势是惟一的。

      于是咱们总能够假设惟一解定义在一个最大的时间区间上。然而这并不能保证$\boldsymbol X(t)$对全部时刻都有定义，无论$\boldsymbol F(\boldsymbol X)$是多么“好”。

例  考虑$\mathbb R$上的微分方程

\[x'=1+x^2.\]

这个方程以函数$x(t)=\tan (t+c)$做为它的解，其中$c$为一常数。因为当$t \to -c \pm \pi/2$时，$x(t) \to \pm \infty$，这个函数不能延拓到区间

\[-c-\frac{\pi}{2}<t<-c+\frac{\pi}{2}\]

以外。

      这个例子颇有表明性，由于咱们有

定理  假设$U \subset \mathbb R^n$为一开集(看做状态空间的范围)，并假设$\boldsymbol F:U \to \mathbb R^n$(看做一种映射关系，或状态转移函数)是$C^1$的。令$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的一个定义在最大开区间$J = (\alpha,\beta) \subset \mathbb R$上的解，其中$\beta < \infty$。则对任意的有界闭集$K \subset U$(能够这么理解：只有闭集，才有“固定”的边界，才能肯定能够超越)，总存在某个$t \in (\alpha,\beta)$使得$\boldsymbol X(t) \notin K$。

      这个定理断言，若是解$\boldsymbol X(t)$不能延拓到一个更大的时间区间，则这个解就会离开$U$中的任何有界闭集。这意味着，当$t \to \beta$时，$\boldsymbol X(t)$能够任意接近$U$的边界。一样的结果在$t \to \alpha$时也成立。(理解为：解没法横向发展，只能竖着增加!)

 

7.3 解的连续依赖性

      为了使得解的存在惟一性定理在各类物理(甚至是数学)意义下都有意义，还须要加上解$\boldsymbol X(t)$对初始条件$\boldsymbol X(0($的连续依赖性质。下面的定理给出了这个性质的准确陈述。

定理  考虑微分方程$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$是$C^1$的。假设$\boldsymbol X(t)$是该方程的一个解，其在闭区间$[t_0,t_1]$上有定义，并且$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$。则存在$\boldsymbol X_0$的领域$U \subset \mathbb R^n$以及常数$K$使得，若是$\boldsymbol Y_0 \in U$，则存在定义在$[t_0,t_1]$上惟一的解$\boldsymbol Y(t)$知足$\boldsymbol Y(t_0) = \boldsymbol Y_0$。并且，对全部的$t \in [t_0,t_1],\boldsymbol Y(t)$知足

\[|\boldsymbol Y(t) - \boldsymbol X(t)| \le K|\boldsymbol Y_0 - \boldsymbol X_0|\exp (K(t - t_0)).\]

      这个结果代表，若是两个解$\boldsymbol X(t)$和$\boldsymbol Y(t)$出发时很接近，则在$t$靠近$t_0$时，它们一直很接近。虽然这两个解可能分开，但它们分开(但绝对不会交叉!)的速度不会超过指数增加速度。特别地，因为上面不等式的右端依赖于$\boldsymbol Y_0 - \boldsymbol X_0$，当假设它很小时，我人就获得：

推论  (对初始条件的连续依赖性) 记$\phi(t,\boldsymbol X)$为系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的流，其中$\boldsymbol F$为$C^1$的。则$\phi$为$\boldsymbol X$的连续函数。

例  令$k > 0$，咱们知道系统

\[\boldsymbol X' = \begin{pmatrix} -1 & 0\\0&k\end{pmatrix}\boldsymbol X\]

知足$\boldsymbol X(0) = (-1,0)$的解为

\[\boldsymbol X(t) = (-e^{-t},0).\]

对任一$\eta \ne 0$，记$\boldsymbol Y_\eta(t)$为知足$\boldsymbol Y_\eta(0) = (-1,\eta)$的解。则

\[\boldsymbol Y_\eta(t) = (-e^{-t},\eta e^{kt}).\]

根据上面的定理，咱们有

\[\left| {{\boldsymbol Y_\eta }(t) - \boldsymbol X(t)} \right| = \left| {\eta {e^{kt}} - 0} \right| = \left| {\eta - 0} \right|{e^{kt}} = \left| {{\boldsymbol Y_\eta }(0) - \boldsymbol X(0)} \right|{e^{\kappa t}}.\]

这些解$\boldsymbol Y_\eta$的确会与$\boldsymbol X(t)$分开(见图7.1)，但它们至多以指数速度分开。并且，对于任何固定的时间$t$，当$\eta \to 0$时，$\boldsymbol Y_\eta (t) \to \boldsymbol X(t).$

      微分方程经常依赖于参数。例如，调和振子方程依赖于参数$b$(阻尼系数)和$k$(弹性系数)。那么，一个天然的问题就是：这些方程的解如何依赖于这些参数呢？在前面的情形，只要系统是以连续可微的方式依赖于这些参数，则解就连续地依赖于这些参数。

定理  (参数的连续依赖性)令$\boldsymbol X'=\boldsymbol F_a(\boldsymbol X)$为一个微分方程系统，其中$\boldsymbol F_a$对$\boldsymbol X$和$a$都连续可微。则这个系统的流也连续依赖于$a$。

 

7.4 变分方程

      考虑自治系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol F_a(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F$像一般同样假设为$C^1$的。该系统的流$\phi(t,\boldsymbol X)$同时为$t$和$\boldsymbol F$的函数。由上节的结果可知，$\phi$对变量$\boldsymbol X$连续(即对初值连续依赖)。因为$t \to \phi(t,\boldsymbol X)$就是过$\boldsymbol X$的解曲线，咱们还知道$\phi$对变量$t$可微。事实上，$\phi$对变量$\boldsymbol X$也是可微的(咱们将在第17章给出其证实)：

定理  (流的可微性)  考虑系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F$为$C^1$的。则系统的流$\phi(t,\boldsymbol X)$为一$C^1$函数，即$\partial \phi / \partial t$和$\partial \phi / \partial \boldsymbol X$都存在，且对$t$和$\boldsymbol X$连续(即偏导数是连续的)。

      注意，一旦知道了过$\boldsymbol X_0$的解，则对任何$t$，咱们总可以算出$\partial \phi / \partial t$，事实上，咱们有

\[\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(t,{\boldsymbol X_0}) =\boldsymbol F(\phi (t,{\boldsymbol X_0})).\]

另外，咱们还有

\[\frac{{\partial \phi }}{{\partial \boldsymbol X}}(t,{\boldsymbol X_0}) =\boldsymbol D_{\phi_t}(\boldsymbol X_0),\]

其中$\boldsymbol D_{\phi_t}$为函数$\boldsymbol X \to \phi_t(\boldsymbol X)$的雅可比。然而，为了计算$\partial \phi / \partial \boldsymbol X$，除了要知道过$\boldsymbol X_0$的解，由于须要计算$\phi_t$的各个份量的偏导数，咱们彷佛还要知道全部通过附近初始位置的解(导数的定义是基于因变量与自变量变化之比，所以要求在所求点的领域内保证函数有肯定的值，对应到这里，应该就是要求知道通过附近初始位置的解)。可是，经过引入沿过$\boldsymbol X_0$的解的变分方程，咱们能够克服这个困难。

      为了实现这一点，须要先对非自治微分方程做简短讨论。令$\boldsymbol A(t)$为一族连续依赖于$t$的$n \times n$矩阵。系统

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol A(t) \boldsymbol X\]

为一个线性非自治系统。对这种类型的方程，有以下的存在惟一性定理：

定理  令$\boldsymbol A(t)$为定义在$t \in [\alpha,\beta]$上的$n \times n$矩阵的一个连续族。则初值问题

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol A(t) \boldsymbol X, \;\; \boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0\]

具备惟一解，并且解在整个区间$[\alpha,\beta]$上都有定义。

      注意，这个定理有一些新的东西：并不须要假设右端是$t$的$C^1$函数。$\boldsymbol A(t)$的连续性就足以保证解的存在惟一性。另外，线性非自治微分方程的解知足线性叠加原理，即若是$\boldsymbol Y(t),\boldsymbol Z(t)$是这样一个系统的两个解，则对任意的常数$\alpha,\beta,\alpha\boldsymbol Y(t) + \beta \boldsymbol Z(t)$也是它的解。

      如今，咱们再回到自治非线性系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$。令$\boldsymbol X(t)$为该系统的一个特解，假设在某个区间$J = [\alpha,\beta]$上对$t$有定义。固定$t_0 \in J$，记$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$。对每一个$t \in J$，令

\[\boldsymbol A(t) = \boldsymbol {DF}_{\boldsymbol X(t)},\]

其中$\boldsymbol {DF}_{\boldsymbol X(t)}$表明$\boldsymbol F$在点$\boldsymbol X(t) \in \mathbb R^n$处的雅可比矩阵(这一思路其实就是非线性系统线性化的过程)。因为$\boldsymbol F$为$C^1$的，$\boldsymbol A(t) = \boldsymbol {DF}_{\boldsymbol X(t)}$是一族连续的$n \times n$矩阵。考虑非自治线性方程

\[\boldsymbol U' = \boldsymbol A(t)\boldsymbol U.\]

该方程称为沿解$\boldsymbol X(t)$的变分方程。由上一个定理可知，对全部的初始条件$\boldsymbol U(t_0) = \boldsymbol U_0$，该变分方程都有一个定义在整个$J$上的解。

      这个方程的意义在于：若是$\boldsymbol U(t)$为变分方程知足$\boldsymbol U(t_0) = \boldsymbol U_0$的解，则只要$\boldsymbol U_0$充分小，函数

\[t \to \boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)\]

就是原来自治方程知足初始条件$\boldsymbol Y(t_0)  = \boldsymbol X_0 + \boldsymbol U_0$的解$\boldsymbol Y(t)$的一个好的逼近。这就是下面结果的内容。

命题  考虑系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F$为$C^1$的。假设

      (1)$\boldsymbol X(t)$为$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$的一个解，对全部的$t \in [\alpha,\beta]$都有定义，且$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$；
      (2)$\boldsymbol U(t)$为沿$\boldsymbol X(t)$的变分方程的解，且$\boldsymbol U(t_0) = \boldsymbol U_0$；
      (3)$\boldsymbol Y(t)$为$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$的解，且$\boldsymbol Y(t_0)  = \boldsymbol X_0 + \boldsymbol U_0$。

则

\[\mathop {\lim }\limits_{{\boldsymbol U_0} \to 0} \frac{{\left| {\boldsymbol Y(t) - (\boldsymbol x(t) +\boldsymbol U(t))} \right|}}{{\left| {{\boldsymbol U_0}} \right|}}\]

对于$t \in [\alpha,\beta]$一致收敛到0。

      严格来讲就是，对任意的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得当$|\boldsymbol U_0| \le \delta$时，对据有的$t \in [\alpha,\beta]$都有

\[|\boldsymbol Y(t) - (\boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)))| \le \epsilon |U_0.|\]

从而，当$\boldsymbol U_0 \to 0$时，曲线$t \to \boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)$将愈来愈逼近$\boldsymbol Y(t)$。在许多应用中，人们直接用从变分方程获得的解$\boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)$来代替原来的解$\boldsymbol Y(t)$；由线性叠加原理，$\boldsymbol U(t)$线性地依赖于$\boldsymbol U_0$，这将会带来很大的方便。

      任给非线性微分方程系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$，若是$\boldsymbol X_0$为它的一个平衡点，则咱们就能够考虑沿这个解的变分方程。但此时，$\boldsymbol {DF_X}_0$是一个常值矩阵$\boldsymbol A$，从而变分变分方程$\boldsymbol U' = \boldsymbol {AU}$为一个自治的线性系统。这个系统称为在$\boldsymbol X_0$处的线性化系统。咱们知道线性化系统的流为$\exp (t\boldsymbol A)\boldsymbol U_0$，因而，上面的命题就代表，在平衡点附近，一个非线性系统的相图与它的线性化系统的相图是类似的。在下一章，咱们要将“类似”这一说法更准确化。

       利用上一命题，假设知道了解$\boldsymbol X(t)$，如今就能够以下来计算$\partial \phi /\partial \boldsymbol X$：

定理  设$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$为一个微分方程系统，其中$\boldsymbol F$为$C^1$的。令$\boldsymbol X(t)$为该系统知足初始条件$\boldsymbol X(0) = \boldsymbol X_0$的解，它在$t \in [\alpha,\beta]$上有定义；再令$\boldsymbol (t,\boldsymbol U_0)$为沿$\boldsymbol X(t)$的变分方程知足$\boldsymbol U(0,\boldsymbol U_0$的解。则

\[\boldsymbol D_{\phi_t}(\boldsymbol X_0)\boldsymbol U_0 = \boldsymbol U(t,\boldsymbol U_0),\]

即$\partial \phi /\partial \boldsymbol X$在$\boldsymbol U_0$上的做用可由从$\boldsymbol U_0$出发求解相应的变分方程给出(为何要求解上式呢？)。

证实  根据上一命题，对全部的$t \in [\alpha,\beta]$，咱们有

\[{\boldsymbol D_{{\phi _t}}}({\boldsymbol X_0}){\boldsymbol U_0} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \infty } \frac{{{\phi _t}({\boldsymbol X_0} + h{\boldsymbol U_0}) - {\phi _t}({\boldsymbol X_0})}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \infty } \frac{{\boldsymbol U(t,h{\boldsymbol U_0})}}{h} =\boldsymbol U(t,{\boldsymbol U_0}).\]

[此证实还不是很理解!]

例  做为这些想法的一个说明，咱们来考虑微分方程$\boldsymbol x' = x^2$。简单的积分代表，知足初始条件$x(0) = x_0$的解为

\[x(t) = \frac{-x_0}{x_0t -1}.\]

因而，咱们有

\[\frac {\partial \phi}{\partial x}(t,x_0) = \frac{1}{(x_0t-1)^2}.\]

[上式对应于$\boldsymbol D_{\phi_t}(\boldsymbol X_0)$]另外一方面，沿$x(t)$的变分方程为

\[u' = 2x(t)u = \frac{{ - 2{x_0}}}{{{x_0}t - 1}}u.\]

该方程知足初始条件$u(0) = u_0$的解为

\[u(t) = {u_0}{\left( {\frac{1}{{{x_0}t - 1}}} \right)^2},\]

[上式对应于$\boldsymbol U(t,\boldsymbol U_0)$]这正与咱们指望的同样。

本定理的做用是显然的：直接求解$\frac {\partial \phi}{\partial x}(t,x_0)$有困难，能够经过求解变分方程的解$\boldsymbol U(t,\boldsymbol U_0)$，而前者做用于$\boldsymbol U_0$的结果就是后者。