灯；及数组统计分析

今日面试题：灯

有100盏灯，依次编号1-100，初始都是关着的。第1次遍历，打开所有的灯；第2次遍历，关掉第2盏、第4盏等被2整除的灯；第3次打开被3整除的灯；第i次，对被i整除的灯作以下操做

• 若是灯开着，就关掉

• 若是灯关着，就打开

如此交替进行，知道100次遍历完毕，请问，还有多少盏灯亮着。

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数组统计分析

原题

给定数组A，大小为n，数组元素为1到n的数字，不过有的数字出现了屡次，有的数字没有出现。请给出算法和程序，统计哪些数字没有出现，哪些数字出现了多少次。可以在O(n)的时间复杂度，O(1)的空间复杂度要求下完成么？

分析

这个题目，是有必定技巧的。技巧是须要慢慢积累，待经验多了以后，能够灵感或者直觉，就产生了技巧。若是不知道技巧，那该怎么办呢？ 在开始分析以前，说明两个问题：

• 原数组是没有排序的。若是排序了，很简单的。

• O(1)的空间含义，可使用变量，但不能开辟数组或者map等来计数。

这个题目，很直接的解法就是两层遍历，O(n^2)的复杂度，O(1)的空间。空间知足了，可是时间没有。 不少相似的题目，都会用XOR的方法，你们仔细想一下，这个题目，能够么？或者这个题目和能够用XOR的题目的差别在哪儿？最直接的就是，每个数字的重复的次数是不一样的。

还有就是以空间换时间的方法，例如用hash map或者数组来计数。时间知足了，可是空间没有知足。 那怎样才能有时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)的算法呢？不能开辟新的空间，那么只剩下，重复利用数组A。那么该如何利用数组A呢？

首先，咱们介绍一种三次遍历数组的方法,咱们都考虑数组从0开始：

• 第一次遍历：对于每个A[i] = A[i] * n

• 第二次遍历：对于每个i，A[A[i]/n]++

• 第三次遍历：对于每个i，A[i] % n就是出现次数

A[i]应该出如今A中的A[i]位置，乘以n、再除以n，很容易的来回变换；第二次遍历，对于A[i]原本所在的位置不断增1，但绝对不对超出n的，那每个i出现的次数，就是A[i]对n取余。

还有一种两次遍历的方法，也是上面的思路：题目中数组是1到n，为了方便算法考虑，以及数组存储方便，咱们考虑0-n-1，结果是相同的。 考虑A[i]，如今位置是i，若是采用A来计数，它的位置应该是A[i] % n，找到计数位置，该如何处理这个位置呢？加1么？显然不能够，这里有一个技巧，就是加n，有两个缘由

• 加n能够保证A[i] % n是不变的

• A数组，最后每个元素表示为A[i] = x + k*n，其中x

上面的思路，转换为代码以下：

【分析完毕】

本文来自微信：待字闺中，2013-08-29发布，原创@陈利人 ，欢迎你们继续关注微信公众帐号“待字闺中”。