[LeetCode] 1031: Maximum sum of two non-overlapping subarrays

原题目

Given an array A of non-negative integers, return the maximum sum of elements in two non-overlapping (contiguous) subarrays, which have lengths L and M. (For clarification, the L-length subarray could occur before or after the M-length subarray.)

Formally, return the largest V for which V = (A[i] + A[i+1] + ... + A[i+L-1]) + (A[j] + A[j+1] + ... + A[j+M-1]) and either:

• 0 <= i < i + L - 1 < j < j + M - 1 < A.length, or
• 0 <= j < j + M - 1 < i < i + L - 1 < A.length.

Example 1:

Input: A = [0,6,5,2,2,5,1,9,4], L = 1, M = 2
Output: 20
Explanation: One choice of subarrays is [9] with length 1, and [6,5] with length 2.
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Example 2:

Input: A = [3,8,1,3,2,1,8,9,0], L = 3, M = 2
Output: 29
Explanation: One choice of subarrays is [3,8,1] with length 3, and [8,9] with length 2.
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Example 3:

Input: A = [2,1,5,6,0,9,5,0,3,8], L = 4, M = 3
Output: 31
Explanation: One choice of subarrays is [5,6,0,9] with length 4, and [3,8] with length 3.
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题目翻译

给出一个正整数数组 A，并给出两个数值 L、M； 求这个数组中长度为 L 和 M 的，且无重复元素的子数组的元素之和的最大值。

也就是求 V = (A[i] + A[i+1] + ... + A[i+L-1]) + (A[j] + A[j+1] + ... + A[j+M-1]) 的最大值，其中

• (A[i] + A[i+1] + ... + A[i+L-1]) 是长度为 L 的子数组
• (A[j] + A[j+1] + ... + A[j+M-1]) 是长度为 M 的子数组

而且 i、j、L、M 知足：

• 0 <= i < i + L - 1 < j < j + M - 1 < A.length, or
• 0 <= j < j + M - 1 < i < i + L - 1 < A.length.

答案 (JavaScript)

/** * @param {number[]} A * @param {number} L * @param {number} M * @return {number} */
var maxSumTwoNoOverlap = function(A, L, M) {
  const prefixSum = [], length = A.length
  prefixSum[0] = A[0]
  for (let i=1; i<length; i++) {
    prefixSum[i] = prefixSum[i-1] + A[i]
  }
  if (L + M === length){
    return prefixSum[length - 1];
  }
  return Math.max(split_and_find_max_sum(A, prefixSum, L, M), 
                  split_and_find_max_sum(A, prefixSum, M, L));
};


var split_and_find_max_sum = (A, prefixSum, L, M) => {
  const length = A.length
  const leftMax = new Array(length), rightMax = new Array(length);
  for (let i = L-1; i<length; i++) {
    const tmpSum = prefixSum[i] - prefixSum[i - L + 1] + A[i - L + 1];
    if (i === L - 1) {
      leftMax[i] = tmpSum;
    } else {
      leftMax[i] = Math.max(leftMax[i - 1], tmpSum);
    }
  }
  
  for (let i = length - M; i >= 0; i--) {
    const tmpSum = prefixSum[i + M - 1] - prefixSum[i] + A[i];
    if (i === length - M) {
      rightMax[i] = tmpSum;
    } else {
      rightMax[i] = Math.max(rightMax[i + 1], tmpSum);
    }
  }
  
  let sum = -Infinity
  for (let i = L - 1; i < length - M; i++) {
    sum = Math.max(sum, leftMax[i] + rightMax[i + 1]);
  }
  return sum
}
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代码解析

如何高效的求子数组的和

这道题须要找到子数组元素和的最大值，那么确定就须要求不少不少不少不一样子数组的元素和，而后进行比对。

每次都将选出来的子数组元素逐一相加确定是不合算的。

这里的方法是，创建一个 prefixSum 数组：

const prefixSum = [];
prefixSum[0] = A[0];
for (let i=1; i<length; i++) {
  prefixSum[i] = prefixSum[i-1] + A[i]
}
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这样，对于数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]，若是咱们想求 2-7 这个子数组的和，只须要用 prefixSum[6] - prefixSum[0] 就好了。

如何避免子数组重叠

这道题最容易想到的方法其实就是 —— 暴力搜索：

即，将全部长度为 L 和 M 的子数组都找出来，两两配对，每一对都判断一下它们是否是重合，若是重合就舍弃；若是没有重合部分，就计算这两个数组的和，而后找出最大值便可。

可是，效率真的低啊。。。虽然打着开心的 Accepted，可是。。。

Runtime: 
100 ms, faster than 16.16% of JavaScript online submissions 
for Maximum Sum of Two Non-Overlapping Subarrays.
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不爽 =。=

因此该怎么办呢？

不用暴力搜索，那么就要聪明的搜索。 这道题有个很关键的能够「聪明搜索」的点，就是 non-overlapping：既然必须是无重合的数组对，咱们一开始只须要寻找无重合的配对来求和就能够了。

如何寻找？

...怎么才能让同桌的领地和本身的领地不要重合呢？...画个三八线呗 =。=

同理，在数组中找一条**「分界线」**，在这条线两边分别寻找子数组，并让每一个子数组的求和尽量大。 最后找到全部分界状况下的子数组求和的最大值，就是答案了。

例如：有一个数组，[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]，选取数字 4，5 之间做为分界线。那么两个子数组 C、D 分别在 [1, 2, 3, 4] 和 [5, 6, 7, 8, 9, 10] 中寻找，就必定能保证数组 C、D 不重合。同理，咱们还能够把分界线选在 6，7 之间...

这样，比暴力搜索就节省了不少次无用的比较。

函数 split_and_find_max_sum 其实就是在作画分割线 & 寻找最大可能的和这件事情。

不过在函数中，它先分别从前日后（从后往前）计算了全部可能分界线的左边（右边）可能子元素的最大值。

这个是从前日后找：

for (let i = L-1; i<length; i++) {
      const tmpSum = prefixSum[i] - prefixSum[i - L + 1] + A[i - L + 1];
      if (i === L - 1) {
          leftMax[i] = tmpSum;
      } else {
          leftMax[i] = Math.max(leftMax[i - 1], tmpSum);
      }
  }
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这个 leftMax 就能够认为是，当分界线选了 i，i+1 之间的时候，分界线左边全部长度为 L 的子数组元素求和的最大值

这个是从后往前找：

for (let i = length - M; i >= 0; i--) {
      const tmpSum = prefixSum[i + M - 1] - prefixSum[i] + A[i];
      if (i === length - M) {
        rightMax[i] = tmpSum;
      } else {
        rightMax[i] = Math.max(rightMax[i + 1], tmpSum);
      }
  }
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rightMax 和 leftMax 基本同理。只不过 rightMax 选子数组的范围是线右边，同时数组长度是 M。

最后一轮 for 循环才是在比对全部分界线状况，并找出最大值。

let sum = -Infinity
  for (let i = L - 1; i < length - M; i++) {
    sum = Math.max(sum, leftMax[i] + rightMax[i + 1]);
  }
  return sum
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函数 split_and_find_max_sum 须要调用两次，缘由是两个子数组长度可能不一样，谁在线左边，谁在线右边，须要分状况讨论。