南外联测 191112 作题总结

Game

重述题意：

有这样一个游戏， 这个游戏里有n只怪， 每只怪血量 \(a_i\)

每次攻击时， 玩家选择一个数\(p\), 使得

for(int i = p; i <= min(n, k+p-1); i++) {
    a[i] -= k+p-i;
}

求最小的k， 使得玩家能够经过m次攻击使得全部\(a[i] < 0\)

数据范围：

50% data: \(n \le 10^3\)

100% data: \(n \le 10^6, m \le 1e9, a[i] \le 1e9\)

首先明显 k 具备可二分性。

对于每个k，操做的方法只有： 对\(a_i\)数列顺序“施加攻击”。

可是怎么模拟这个操做呢？毕竟每次都区间减等差数列的数据结构 很是高级，并且难写

（固然写好暴力区间减就50分到手 再一次说明写暴力重要性

形式化的讲， 每次攻击\(a_i\) 须要施加 \(l = \lceil \frac{a_i}{k} \rceil\) 次攻击， 影响一直波及到 \(a_{i+k-1}\) 。

考虑差分。 定义 \(\Delta a_i = a_{i+1} - a_i\)

则有： \(\Delta a_i ' = \Delta a_i + l\) 。 因此 区间加等差数列等于区间差分加上一个固定的数

而对\(\forall \Delta a_x, \ i \le x\le i+k-1\), 都有上式成立。 故对每一个操做，打上一个“区间减法”标记就能够了。

（其实这个标记的真正含义是二阶差分）

考后总结

1. 50分暴力必需要写。 写了能够对拍。
2. 二分时注意 解区间开闭性和边界， 二分其实有不少坑的。重点要记住， 二分区间一致是一个 半开半闭 区间。
3. 数组未初始化， 调了40分钟（哭哭哭。
4. 其实k = 0的状况是存在的， 可是不能写进二分的断定里（如果让k = 0 ，那么判断时会除以0）
   1. 因此k=0状况要特判。

Friend

百度地图的实时路况 简化版。

考后感想

特别要注意： 这张图是有重边和自环的。

我没有给边判重，得20分

判重以后， 满分！！

Revenge

重述题意：

有一颗n个点的树， 每一个点有一个颜色，总共有c种颜色。求最短的树上路径（一个点最多通过一次），使得路径上每种颜色的点都有。

60% data: \(n \le 2000\)

100% data : \(c\le 9, n \le 20000\)

这道题我在考试时想到的思路是这样的（类比求树的直径）：

\[ \begin{align} 动态规划:\\ &f(i,sta) = 以点i为根,通过点集为sta的最短路径长度&\\ &g(i,sta) = 以点i为根,通过点集为sta的次短路径长度 \end{align} \]
可是其实这样没法保证最短路径和次短路径不相交 . 保证 不相交 才是最重要的.

可是我却写了这个错误的解法. 因此最后没时间调试, 我没分了.

考后感想

其实, 经过n次\(dfs\)就能够获得60分.

因此, 一个方法务必想清楚为何正确!!不能肯定正确的话, 先写个暴力.

100分作法:

动态规划: 仔细看， 定义改为了 \(f(i,sta) = 以点i为根,通过点集至少为为sta的最短路径长度\)

转移时, 能够优化:
\[{DP:} \begin{align} \\ &ans =\min _s f(u, s) + f(v,s')\\ &f(u, s+c_u) = \min \{f(v, s+c_u) + 1, f(u, s)\} \end{align}\]

复杂度 \(O(n*2^n)\)

注意！！

\(f(i, sta)\) 中 \(sta\) 是 至少 通过点集为sta的最短路径长度

这个至少 很重要。 不然， 这道题就须要用\(SOSdp\), 一种\(FWT\)的变体来更新ans了。

这里有一篇\(SOSdp\)的博客: https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/100109753

（原汁原味英文版： https://codeforces.com/blog/entry/45223 ）

不过如今就先不学了。

怎么处理这个 至少 呢？ （不用枚举子集）

再加一个状态转移方程： \(f_{u, s} = \min \{ f_{v,s} + 1, f_{u, s}\}\)就能够了。（有点意思！）

这样， 对于任意一条路径， 全部可能的 忽略某些点 的方案都会被统计到。（毕竟“至少” 就是要 忽略某些在路径上的点）