使人惊艳的算法——蒙特卡洛采样法

蒙特卡洛算法

使用几率来求π（圆周率）和定积分，在不使用任何公式和特殊计算方法的前提下，实现小数点后多位的准确率，真的惊艳到我了。

我第一次接触蒙特卡洛算法，是在作数据采样的时候，这个名字是20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员乌拉姆和冯·诺伊曼首先提出。 冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo来命名。

但其实早在1777年，法国数学家布丰提出用投针实验的方法求圆周率，就已经用到了蒙特卡罗法，只是那个时候并无特别命名。

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什么是蒙特卡洛法？

假如篮子里有1000个苹果，让你每次闭着眼睛找一个最大的，能够不限制挑选次数。 因而，你能够闭着眼随机拿了一个，而后再随机拿一个与第一个比，留下大的，再随机拿一个，与前次留下的比较，又能够留下大的。 循环往复这样，拿的次数越多，挑出最大苹果的可能性也就越大，但除非你把1000个苹果都挑一遍，不然你没法确定最终挑出来的就是最大的一个。

也就是说，蒙特卡洛算法是样本越多，越能找到最佳的解决办法，不过不保证是最好的，由于若是有10000个苹果的话，说不定就能找到更大的。

也就是，经过大量随机样本，不使用任何公式和计算方法，获得所要计算的值。 接下来，咱们用4个例子一块儿来看看蒙特卡洛法的应用吧。

例子1：求10000个整数的中位数

先从中抽取m个数，m<10000，把它们的中位数近似地看做这个集合的中位数。 随着m增大，近似结果是最终结果的几率也在增大。

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例子2：求圆周率

给定一个边长为1的正方形，其内部有一个相切的圆

根据高中知识，能够简单算出它们的面积之比是π/4。

当咱们在（0，1）的范围内随机选择一个坐标（x, y）时，每一个坐标点被选中的几率相等。 则坐标落在直径为1的正方形中的圆的几率为：

由切比雪夫不等式可知，在生成大量随机点的前提下咱们能获得尽量接近圆周率的值。

如今，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。

若是这些点服从均匀分布，那么圆内的点应该占到全部点的 π/4，所以将这个比值乘以4，就是π的值。经过R语言随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。

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例子3：设0≤f(x)≤1，求定积分

设随机变量XX服从[0,1]上的均匀分布，则Y=f(X)的数学指望为

以估计J的值就是估计f(X)的数学指望值。 由辛钦大数定律，能够用f(X)的观察值的均值取估计f(X)的数学指望。 具体作法：

先用计算机产生n个服从[0,1]上均匀分布的随机数：

对每个xi，计算f(xi)。 而后计算

其精确值和用蒙特卡洛法获得的模拟值以下：

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例子4：求天然底数e

首先考虑以下积分

接下来分别用蒙特卡洛积分和牛顿莱布尼兹公式计算，在蒙特卡洛方法中样本不少时，它们的值应该相等。 利用蒙特卡洛方法，图像大体以下

上述积分的目的是求阴影部分的面积，因此先在所标矩形内取n对随机点

对于每一对

考察是否知足以下条件

假设知足上述条件的点有 m个，而所有的点有 n 个，因此获得近似公式为

而依据牛顿莱布尼兹公式能够获得

这两种方法结果应该是相等的，即有

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