3D Math Keynote 3

【3D Math Keynote 3】

一、球的表面积 Surface、球的体积 Volumn：

　　

二、当物体旋转后，若是经过变换后的旧AABB来顶点来计算新的AABB顶点，则生成的新AABB可能比实际的新AABB大一些。

　　

　　由 旧AABB 快速计算 新AABB的方法。

　　

　　若是 m < 0，则取min值参与计算，若是 m > 0，则取max值参与计算。

三、多于3个点的最佳平面。算法就是求出全部的n，而后求个平均值。（此公式书中未给出证实过程）

　　

　　使用求和符号，能使公式更简洁一些。

　　

　　最佳d值为：

　　

四、点到平面的距离。好比平面外有一点q，求q到平面的距离。

　　

　　

五、三角形的正弦、余弦公式。

　　

　　

　　海伦公式，让咱们可使用三边长度，计算出面积：

　　　　

六、根据三个顶点坐标，快速计算三角形面积。

　　顺时针，依次每条边与x轴围成的面积。

　　　　

　　A(e1) + A(e2) + A(e3) 便是三角形面积。

　　

　　能够看到若是将三角形下移h高度，使得三角形与X轴穿叉，面积实际上不会变。

　　A(e1) = (y3+y2-h)(x3-x2)/2，将-h提取出来，获得 -hx3+hx2

　　A(e2) = (y1+y3-h)(x1-x3)/2，将-h提取出来，获得 -hx1+hx3

　　A(e3) = (y2+y1-h)(x2-x1)/2，将-h提取出来，获得 -hx2+hx1

　　能够看到，上面三个A中新增出来的项，恰好相互抵消。因此即便三角形与X轴相互穿叉，上述算法也能获得正确的面积。

　　最后，最简单的方法实际是计算叉积，叉积便是面积。

　　

七、三角形局部坐标，一般可使用重心坐标。

　　

　　　　

　　每一个顶点对应的边上的每个点的对应份量为0。

　　

　　重心坐标不一样于笛卡尔坐标，笛卡尔有2个维度的变量，重点坐标却有3个维度的变化。因为 b1+b2+b3=1，因此实际上，在重心坐标系下，只要两个维度就能唯一肯定一个位置。

八、给定 v1,v2,v3和p，计算 p 的重心坐标。

　　　　

　　

　　重心坐标实际是面积比。

　　

九、计算3D中任意点的重心坐标。

　　一种算法是经过抛弃 x,y,z 中的一个份量，将3D问题转化到 2D 中。

　　但存在一个问题，若是投影后三点或两点共线怎么办。一种解决方法是，挑选投影面积最大的那一面来计算。实际计算方法就是，抛弃法向量中份量最大的那一个轴。

　　

　　另外一种算法是使用公式 12.23 中的面积比法，计算p点与各边围成的面积，求出比例。

十、重心或质心。

　　

　　心里是指到三角形各边相等的点。之因此称之为心里，是由于它是三角形内切圆的圆心。心里是角平分线的交点。

　　

　　

　　外心是到三角形各顶点距离相等的点，是三角形外接圆的圆心。

　　

　　　　

　　　　

十一、简单多边形不包含洞，复杂多边形可能包含洞。

　　凸多边形任意两点连续均在图形内，凹多边形有可能在图形外。怎样才能知道一个多边形是凹的仍是凸的?一种方法是检查n个顶点的较小角的和（解决凹多边形的问题）， 是否为 (n-2)*180。

　　

　　凸多边形的补角和为 360 度。

　　另外一个检测凹凸多边形的方法是每个点的转身，用叉乘来作。

十二、点距直线的最接近点。

　　　　

1三、点距射线的最接近点。

　　　　

1四、点到平面的最接近点。与12中的点到直接的最接近点公式同样，只是多了一维。

　　

1五、点到圆或球的最接近点。

　　　　

1六、计算AABB上的最接近点。
　　算法是按必定顺序，沿着每条轴将 q 推 B。

　　

　　

1七、2D 中隐式直接相交性检测。

　　

1八、3D中两条射线的相交检测。

　　

　　

1九、射线和平面的相交性检测。

　　　　

　　上述公式是经过代数的方程的方法来解。　　

　　根据公式，能够提供另外一种理解方法。 d-p0*n 实际上是 p0到平面的距离，d*n实际上是d与n平行的分向量。总距离除以向量步行，便可获得t的值。

 

20、AABB和平面的相交性检测。

　　

 　　动态检测：

　　　　

2一、三平面相交性检测。算法与2D中两直线相交性检测相似，解方程。

　　　　

 

2二、射线和圆、球的相交性检测。

　　

　　上图中 a能够经过 e到射线的投影计算出来。

　　

　　b 能够经过 e、a求出来。

　　

　　f 能够经过 r、b求出来。

　　

　　t 能够经过 a、f求出来。

　　

 

2三、两个圆球的相交性检测。

 　　两个运动的球须要经过相对运动来计算。

　　　　

　　经过相对运动，将问题转化成了以下模型：

　　

　　根据 cos 定理，有以下公式：

　　

　　　 

2四、球和AABB的相交性检测。

　　选择 min/ max，取一个最小 magnitude， 看是否小于距离。

2五、球和平面的相交性检测。

　　计算圆心到平面的距离，看是否小于r。

　　

　　若是圆在运行中，如何求解t为什么值时与平面碰撞？

　　

　　问题转化成了点到平面的距离。

　　

 

2六、射线和三角形的相交性检测。

　　第一步，计算射线到三角形平面的交点。第二步，经过计算交点的重心主坐标，来判断它是否在三角形中。

2七、射线和AABB的相交性检测。

　　书中未详细说明算法。

2八、两个AABB的相交性检测。

　　检测两个AABB是否相交很是简单，只要在每一维上检查它们的重合度便可。若是全部维上都没有重合，那么这两个AABB就不会相交。

　　动态状况麻烦一点，若是向某方向以d运行，求t时刻相遇。t为全部维上同时重合的第一个点。

　　

　　全部时间区间的交集，就是两个边界框相交的时间段。

　　

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