模n运算

注意：只是我的理解，可能有不正确的地方

对于整数a、n，模n运算就是求a除以n的余数

若是a=10，n=3，那么a除以n的商为3，余数为1

C语言等编程语言中常使用%表明求模运算：a%n

10%3=1

英文中也使用mod表明求模运算：a mod n

10 mod 3 = 1

模n运算的加法：

(a+b)%n = (a%n + b%n)%n

 

模n运算的减法：

(a-b)%n = (a%n - b%n)%n

模n运算的乘法：

(a*b)%n = (a*(b%n))%n = ((a%n)*b)%n = ((a%n)*(b%n))%n

模n运算的乘方：

(a^b)%n = ((a%n)^b)%n

(((a^b)%n)*((a^c)%n))%n = ((((a%n)^b)%n)*(((a%n)^c)%n))%n = ((a%n)^b)*(a%n)^c))%n = ((a%n)^(b+c))%n = (a^(b+c))%n

将模n运算中的加减乘运算抽象化：

若是将上面等式中的%n从等式中略去，而后使用(mod n)方式标在等式后，以代表该计算不是普通的加减乘等运算，是基于模n的运算，则各运算能够写做：

a+b = a+b  (mod n)

a-b = a-b  (mod n)

a*b = a*b  (mod n)

a^b = a^b  (mod n)

(a^b)*(a^c) = a^(b+c)  (mod n)

这样就获得了基于模n的加减乘运算。

b^(-1)的定义

对于普通乘法，b*b^(-1)=1，那么基于模n的b^(-1)应该知足：

b*b^(-1)=1  (mod n)

由(2*5)%3=1能够看出

2^(-1) = 5  (mod 3)

5^(-1) = 2  (mod 3)

由(2*2)%3=1能够看出

2^(-1) = 2  (mod 3)

能够看出b^(-1)是一系列数，但一般只取<n的值

b^(-1)也称为b关于n的模反元素

由b^(-1)定义，能够获得抽象化的基于模n的除法

a/b = a*(b^(-1))  (mod n)