递推与递归

1、递推

递推算法是一种用若干步可重复的简运算（规律）来描述复杂问题的方法。

递推是序列计算机中的一种经常使用算法。它是按照必定的规律来计算序列中的每一个项，一般是经过计算机前面的一些项来得出序列中的指定项的值。其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的屡次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特色。

例1：植树节那天，有五位同窗参加了植树活动，他们完成植树的棵树都不相同。问第一位同窗植了多少棵时，他指着旁边的第二位同窗说比他多植了两棵；追问第二位同窗，他又说比第三位同窗多植了两棵；... 如此，都说比另外一位同窗多植两棵。最后问到第五位同窗时，他说本身植了10棵。到底第一位同窗植了多少棵树？

分析：设第一位同窗植树的棵树为a1,欲求a1，需从第五位同窗植树的棵数a5入手，根据“多两棵”这个规律，按照必定顺序逐步进行推算：
(1) a5=10;
(2) a4=a5+2=12;
(3) a3=a4+2=14;
(4) a2=a3+2=16;
(5) a1=a2+2=18;

var
  i,a:byte;
begin
  a:=10;
  for i:=1 to 4 do a:=a+2;
  writeln('The Num is',a);
end.

本程序的递推运算可用下图示表示：
初始值a:=10-----i=1,a=a+2(12)-----i=2,a=a+2(14)------i=3,a=a+2(16)-----i=4,a=a+2(18)----输出a值

例2：十本不一样的书放在书架上，现从新摆放，使每本书都不在原来放的位置，有几种摆法？

分析：当n个元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示，那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置且各不对应的方法数，其它类推。

第一步，把第n个元素放在除n之外的某一个位置，好比位置k，一共有n-1种方法
第二步，放编号为k的元素，这时有两种状况：
一、把它放到位置n，那么对于剩下的n-2个元素，就有M(n-2)种方法
二、不把它放到位置n，这时对于这n-1个元素有M(n-1)种方法

综上获得：
M(n)=(n-1)*[M(n-2)+M(n-1)] (n>=3)

var
  n,i:byte;
  a,b,c:longint;
begin
  readln(n);
  case n of
    1: writeln(0);
    2: writeln(1);
  else begin
    a:=0;b:=1;
    for i:=3 to n do begin
      c:=(i-1)*(a+b);
      a:=b;b:=c;
    end;
    writeln(c);
  end;
  end;
end.

递推算法以初始（起点）值为基础，用相同的运算规律，逐次重复运算，直至运算结束。这种从“起点”重复相同的方法直至到达必定“边界”，犹如单向运动，用循环能够实现。递推的本质是按规律逐次推出（计算）先一步的结果。

 

2、递归

若是函数体或过程体中出现调用其自身的语句，称为递归调用。这样的函数或过程称为递归函数或递归过程。

 

例3：设计一个计算n!的递归程序

根据数学含义，n!可由下面的公式表示：

n!=1            当n=0时

n!=n*(n-1)!  当n>0时

根据以上公式推理，为了求n!能够先求出(n-1)!，为了求(n-1)!又能够先求出(n-2)!……，如此递推，直到n=0。因为n=0时已定义为1，再由0!=1又一步步反向推回，求出1!、2!……最终获得n!

 

var

  n:integer;

function fct(t:integer):integer;

begin

  if t=0 then fct:=1

         else fct:=t*fct(t-1);

end;

begin

  readln(n);

  writeln(n,'!=',fct(n));

end.

 

例4：汉诺（hanoi）塔问题。给定三根杆A、B、C和大小不一样的几个盘子，这些盘子按尺寸递减顺序套在A杆上，如图。咱们的任务是把这些盘子从A杆移到C杆且保持原来堆放顺序；在实现任务时，规定每次只能移动一个盘子，不容许大的盘子放在小的盘子上面，B杆能够做为辅助存放杆，求出每一步应该如何移动。

 

题目要求将n个盘子由A杆移到C杆可用一样的方法：

一、先（递归地）将A杆上面的n-1个盘子移到B杆（借助C杆）

二、而后把A杆上惟一的一个盘子移到C杆

三、再把B杆上的n-1个盘子（递归地）移到C杆（借助A杆）

 

var

  n:integer;

procedure move(n:integer;a,b,c:char);

begin

  if n=1 then writeln(a,'--->',c)

         else begin

    move(n-1,a,c,b);

    writeln(a,'--->',c);

    move(n-1,b,a,c);

  end;

end;

begin

  readln(n);

  move(n,'A','B','C');

end.

 

递归结构的程序具备结构清晰，容易阅读和理解的优势，写出的程序较简短，但在处理递归问题中，须要保留每次递归调用时的参数和局部变量，这样就占用大量的存储空间和花费较多的机器时间，效率较低。

 

用递归过程或函数解决问题时应注意：

一、求解的问题是否符合递归的描述，要解决的问题是否能够化为与原问题相同的子问题

二、过程体或函数体中必须有递归结束的条件，这个条件就是递归边界

 

3、做业

一、zerojudge：a21六、a04二、b12七、a51九、d580、d2十二、d810

二、用递归方法求两个正整数的最大公约数

三、读入一个任意位数的正整数，按颠倒过来的顺序将其输出（利用递归过程）

四、从键盘输入任意长度的一串字符，其中包括数字和字母，并以星号“*”结束。利用递归的方法将这串字符中的数字字符按相反的次序个输出。例如：输入Delphi6TP70Ada586*，输出为685076。