O(n)求数组中第k大的元素——堆排序

时间 2019-11-19

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建堆：O(n) 循环

询问：O(logn)im

建堆复杂度的证实：img

首先这个循环是从i = headsize/2 -> 1，也就是说这是一个bottom-up的建堆。因而，有1/2的元素向下比较了一次，有1/4的向下比较了两次，1/8的，向下比较了3次，......，1/2^k的向下比较了k次，其中1/2^k <= 1, k 约等于lg(n)。因而就有总的比较量：di

T = ( $\sum_{k = 1}^{lg(n)}{{1 \over {2^k}} \times k}$ ) * ntime

令 S = $\sum_{k = 1}^{lg(n)}{{1 \over {2^k}} \times k}$

1/2 S = $\sum_{k = 1}^{lg(n) - 1}{{1 \over {2^{k+1}}} \times k} = {1 \over 4} + {1 \over 8} \times 2 + \cdots + {1 \over {2^{k+1}}} \times k$
S - 1/2S = 1/2S = ${1 \over 2} + {1 \over 4} + \cdots + {1 \over {2^k}} - {1 \over {2^{k+1}}} \times k$ 到这步就很明显了吧，S <= 2因而T <= 2n => T = O(n).