【APIO2016】【UOJ205】【LOJ2568】烟花表演 可合并堆

题目大意

　　有一棵树，每条边都有一个边权，如今你要修改边权，使得修改后根到全部叶子的距离相等。

　　要求全部边权非负。

　　修改的代价为$\lvert$每条边修改前的边权$-$修改后的边权$\rvert$之和。

　　$n+m\leq 300000$

题解

　　容易发现，设 $f(x)$ 为根到全部叶子的距离为 $x$ 时的最小代价，那么 $f(x)$是一个下凸函数，而且每一段都是线性的。

　　考虑一个点 $u$ 从儿子 $v$ 转移过来。这个过程分两步：

　　把 $v$ 的凸包加上 $u\to v$ 这条边：

　　　要从 $f(x)$ 转移到 $f'(x)$

　　　假设原来 $f(x)$ 的最小值是在 $[l,r]$ 时取到的，那么：

　　　　$x\leq l$：$f'(x)=f(x)+w$：最优方案是把这条边的长度减到 $0$（由于边权不能是负数）

　　　　$l\leq x\leq l+w$：$f'(x)=f(l)+w-(x-l)$：把这条边的代价减掉$w-(x-l)$

　　　　$l+w\leq x\leq r+w$：$f'(x)=f(l)$：这条边的代价不须要变

　　　　$x\geq r+w$：$f'(x)=f(l)+(x-R)-w$：把这条边的代价减掉$(x-r)-w$

　　　那么就是把 $[l,r]$ 这段往右平移，把 $[0,l]$ 这段往上平移，加入一段斜率为 $1$ 的直线和一段斜率为 $-1$的直线。

　　　考虑怎么维护这个凸包。

　　　能够发现相邻两段的斜率之差为 $1$，因此只须要维护凸包上相邻两个线段交点的横坐标便可。

　　　还能够发现凸包最右边那条直线的斜率就是这个点的儿子个数。

　　　因此直接把最右边儿子个数 $-1$ 条个交点弹掉就能找到 $[l,r]$ 了。

　　把两个凸包合并：

　　　直接把全部交点相加就行了。

　　那么要怎么计算答案呢？

　　先找到 $[l,r]$，而后对于左边的每个交点 $v$，它的贡献就是 $-v$。

　　直接相加就行了。

　　能够用可合并堆实现，复杂度为 $O((n+m)\log (n+m))$

　　可是我懒。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c,b=0;
	while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
	if(c=='-')
	{
		c=getchar();
		b=1;
	}
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int n,m;
ll w[300010];
int f[300010];
int d[300010];
priority_queue<ll> q[300010];
int main()
{
	open("loj2568");
	scanf("%d%d",&n,&m);
	ll ans=0;
	for(int i=2;i<=n+m;i++)
	{
		scanf("%d%lld",&f[i],&w[i]);
		ans+=w[i];
		d[f[i]]++;
	}
	for(int i=n+m;i>=2;i--)
	{
		ll l=0,r=0;
		if(i<=n)
		{
			while(--d[i])
				q[i].pop();
			l=q[i].top();
			q[i].pop();
			r=q[i].top();
			q[i].pop();
		}
		q[i].push(l+w[i]);
		q[i].push(r+w[i]);
		if(q[i].size()>q[f[i]].size())
			q[i].swap(q[f[i]]);
		while(!q[i].empty())
			q[f[i]].push(q[i].top()),q[i].pop();
	}
	while(d[1]--)
		q[1].pop();
	while(!q[1].empty())
		ans-=q[1].top(),q[1].pop();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}