【转】在定义卷积时为何要对其中一个函数进行翻转？（知乎上的问题和回答）

在卷积的定义中为何函数g(τ)要先翻转为g(-τ)再平移为g(x-τ)而不是直接记做g(τ-x)这样作有什么好处么？

我知道问一个概念的定义就好像问"妈妈"为何要叫"妈妈"同样。但我始终以为这样的定义有些别扭。想知道这样作背后的意义。

 

做者：中微子

连接：http://www.zhihu.com/question/20500497/answer/45708002

来源：知乎

 

不要试图直接从公式上去思考"翻转"的意义，回到问题的起源，你就会豁然开朗了。

打个比方，往平静的水面里面扔石头。咱们把水面的反应看做是一种冲击响应。水面在t=0时刻石头丢进去的时候会激起高度为h(0)的波纹，但水面不会立马归于平静，随着时间的流逝，波纹幅度会愈来愈小，在t=1时刻，幅度衰减为h(1), 在t=2时刻，幅度衰减为h(2)……直到一段时间后，水面重复归于平静。

从时间轴上来看，咱们只在t=0时刻丢了一块石头，其它时刻并无作任何事，但在t=1,2….时刻，水面是不平静的，这是由于过去（t=0时刻）的做用一直持续到了如今。

那么，问题来了：

若是咱们在t=1时刻也丢入一块石子呢？此时t=0时刻的影响尚未消失（水面尚未恢复平静）新的石子又丢进来了，那么如今激起的波浪有多高呢？答案是当前激起的波浪与t=0时刻残余的影响的叠加。那么t=0时刻对t=1时刻的残余影响有多大呢？

 

为了便于说明，接下来咱们做一下两个假设：

 

1． 水面对于"单位石块"的响应是固定的

2． 丢一个两倍于的"单位石块"的石块激起的波纹高度是丢一个石块的两倍（即系统知足线性叠加原理）

如今咱们来计算每一时刻的波浪有多高：

• t=0时刻：

y(0)=x(0)*h(0);

• t=1时刻：

当前石块引发的影响x(1)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引发的残余影响x(0)*h(1);

y(1)=x(1)*h(0)+ x(0)*h(1);

• t=2时刻：

当前石块引发的影响x(2)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引发的残余影响x(0)*h(2);

t=1时刻石块x(1)引发的残余影响x(1)*h(1);

y(2)=x(2)*h(0)+ x(1)*h(1)+x(0)*h(2);

……

• t=N时刻：

当前石块引发的影响x(N)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引发的残余影响x(0)*h(N);

t=1时刻石块x(1)引发的残余影响x(1)*h(N-1);

y(N)=x(N)*h(0)+ x(N-1)*h(1)+x(N-2)*h(2)+…+x(0)*h(N);

这就是离散卷积的公式了

理解了上面的问题，下面咱们来看看"翻转"是怎么回事：

当咱们每次要丢石子时，站在当前的时间点，系统的对咱们的回应都是h(0),时间轴以后的（h(1),h(2).....）都是对将来的影响。而总体的回应要加上过去对于如今的残余影响。

如今咱们来观察t=4这个时刻。

站在t=0时刻看他对于将来（t=4）时刻(从如今日后4秒)的影响，可见是x(0)*h(4)

站在t=1时刻看他对于将来（t=4）时刻的影响(从如今日后3秒)，可见是x(1)*h(3)

站在t=2时刻看他对于将来（t=4）时刻的影响(从如今日后2秒)，可见是x(2)*h(2)

站在t=3时刻看他对于将来（t=4）时刻的影响(从如今日后1秒)，可见是x(3)*h(1)

因此所谓的翻转只是由于你站立的如今是过去的将来，而由于h(t)始终不变，故h(1)实际上是前一秒的h(1)，而前一秒的h(1)就是如今，因此从当前x(4)的角度往左看，你看到的是过去的做用。h(t)未翻转前，当从h(0)往右看，你看到的是如今对于将来的影响，当翻转h(t)以后，从h(0)往左看，你依次看到的愈来愈远的过去对如今的影响，而这个影响，与从x=4向左看的做用影响相对应（都是愈来愈远的过去），做用与做用的响应就对应起来了，这一切的本质，是由于你站立的时间观察点和方向在变。