「Sdchr 的邀请赛」题解

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A：取石子

将点 x 与点 x / prime 连边，那么这个图能够由指数之和的奇偶性来划分红一个二分图。

接下来考虑推广阶梯 NIM （或者这本来就是阶梯 NIM ？），必胜当且仅当奇数层的点上的石子数的异或和不为 0 ，因此进行一下计数就行了。

B：重返现世

如何处理 \(k = n\) ？考虑 \(\text{max-min}\) 容斥，而后 DP 。网上资料不少，这里不赘述。

考虑将 \(\text{max-min}\) 推广到 \(\text{kthmax-min}\) 容斥？
\[ \text{kthmax(S)} = \sum_{T \subset S} \min(T) f(|T|) \]
对第 \(x+1\) 大的元素，创建实际应该计算的次数与上述式子中计算的次数的联系，
\[ [x + 1 = k] = \sum \binom{x}{i} f(i+1) \]

\[ f(x) = (-1) ^ {x - k} \binom{x - 1}{k - 1} \]

\[ \text{kthmax} (S) = \sum_{T \subset S} \frac{m}{\sum_{i \in S} p_i} (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1} \]

而后考虑设计一个 DP ，设 \(f(i, j, k)\) 表示处理了前 \(i\) 位，\(\sum_{i \in S} p_i = j\) ，组合数的下指标为 \(k\) 时的
\[ \sum_T (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1} \]
边界和转移都须要用到一点组合数的知识。

C：画画

比赛进行的时候，我去 OEIS 上找到了前 60 项。。。早知我出到 65 项，测了第 61 项只须要跑两秒。。。

首先你们能够作作 BZOJ 1408 ，再来看这个问题。

这个问题就一样是枚举分拆数，而后瞎计数。我本身的作法是大力分析一下，这个分析过程比较复杂就不赘述了；或者也能够直接 \(O(n ^ 6)\) 进行高斯消元，而二者的本质是同样的，由于一张图的线性基就是一个森林。

出完这道题的时候发现，的确能够作到 \(n\) 个点的无标号连通欧拉图计数，设上述答案为 \(g(n)\) ，\(n\) 个点的无标号连通欧拉图的个数为 \(f(n)\) ，构建普通生成函数，则
\[ G(x) = \prod \frac{1}{(1 - x ^ i) ^ {f(i)}} \]

\[ \ln G(x) = \sum_i - f(i) \ln (1 - x ^ i) = \sum_i f(i) \sum_{j \ge 1} \frac{x ^ {ij}}{j} = \sum_{t \ge 1} x ^ t (\sum_{ij = t} \frac{f(i)}{j}) \]

D：信息传递

考虑 \(f\) 的某个轮换 \(s\) ，在 \(n\) 次置换下会变成什么？

那么，能够将多少个 \(f ^ n\) 的大小为 \(s\) 的轮换进行合并，以及合并的方案数？

以后对每种不一样的大小求 \(exp\) ，而后相乘便可。