欧拉定理

欧拉定理

欧拉定理，是指对于全部的 \(n\)，若 \(a\) 与 \(n\) 互质，那么

\[a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

证实

那么这个东西是怎么来的呢？
咱们首先把 \(1\)~\(n-1\) 中与 \(n\) 互质的数放到一个集合 \(X\) 里：

\[X=\{ x_1,x_2,\cdots ,x_{\phi(n)} \} \]

而后，咱们再用一个集合 \(M\) 记录 \(a \times x_i\)：

\[M=\{ a \times x_1,a \times x_2,\cdots,a \times x_{\phi(n)} \} \]

而后，咱们要证实两个东西。

证实 M 内全部的元素模 n 后不一样余

这里咱们用反证法，假设存在 \(i,j \in M\) 且 \(i \not= j\) 并知足

\[m_i \equiv m_j \pmod{n} \]

那么，咱们把他拆开来：

\[a \times x_i \equiv a \times x_j \pmod{n} \]

这里咱们假设 \(m_i > m_j\)再移个项：

\[a \times x_i - a \times x_j \equiv 0 \pmod{n} \]

因为 \(a\) 与 \(n\) 互质：

\[x_i - x_j \equiv 0 \pmod{n} \]

那么，因为 \(x_i,x_j\) 都小于 \(n\)，因此 \(x_i - x_j < n\)，又由于 \(x_i \not= x_j\)，因此假设不成立。

证实 M 中的每一个元素模 n 后都与 n 互质

这个很简单粗暴。
咱们知道 \(m_i=a \times x_i\)。
因为 \(a\) 与 \(n\) 互质，\(x_i\) 也与 \(n\) 互质，因此 \(m_i\) 模 \(n\) 后也与 \(n\) 互质。
其实带到欧几里得算法里推一下就行了：

\[gcd(a \times x_i,n)=gcd(m_i,n)=gcd(n,m_i \bmod n)=1 \]

推柿子

根据上面两个性质，就能够推柿子了：

\[m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n} \]

\[a \times x_1 \times a \times x_2 \times \cdots \times a \times x_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n} \]

\[a^{\phi(n)} \times x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n} \]

\[(a^{\phi(n)}-1) \times x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \equiv 0 \pmod{n} \]

\[a^{\phi(n)} \equiv 0 \pmod{n} \]

因而就搞出来啦~

费马小定理

呼_{终于证完了}
啥？还有费马小定理？
费马小定理其实就是欧拉定理的一个特殊的状况啦~
费马小定理是说，若 \(n\) 为质数，那么对于全部知足 \(a \nmid n\) 的 \(a\)，都有

\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{n} \]

为何说费马小定理是欧拉定理的一个特殊状况呢？由于当 \(n\) 为质数时，\(\phi(n)=n-1\)，并且 \(a \nmid n\) 就至关于 \(a\) 与 \(n\) 互质。