树状数组

下面是树状数组的学习笔记：

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目录：

（\(1\)）什么是树状数组

（\(2\)）如何使用树状数组

（\(3\)）树状数组的应用

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（\(1\)）什么是树状数组

​ 在解题过程当中，有时候要维护一个数组的前缀\(S[i]=A[1]+A[2]+···+A[i]\)。可是若是咱们修改了任何一个\(A[i]\)，\(S[1]、S[2]、S[3]···S[i]\)的值都会相应改变。若是咱们循环维护每个\(S[i]\)，那样就太慢了。因而咱们要考虑使用数据结构来进行优化。树状数组就是这样一个数据结构！

​ 首先介绍一下前置知识：

根据任意正整数关于\(2\)的不重复次幂的惟一分解性质，若一个正整数\(x\)的\(2\)进制表示为\(10101\)，其中等于\(1\)的位是\(0,2,4\)则正整数能够被分解为\(2^4+2^2+2^0\)。那么，区间\([1,x]\)就能够被分为\(logx\)各小区间

​ 长度为\(2^4\)的区间为\([1,2^4]\)；长度为\(2^2\)的区间为\([2^4+1,2^4+2^2]\)；长度为\(2^0\)的区间为\([2^4+2^2+1,2^4+2^2+2^0]\)。

​ 树状数组就是这样一种结构，它的基本用途就是维护序列的前缀和。对于区间\([1,x]\)树状数组将其分为\(logx\)个子区间，从而知足快速询问区间和。

​ 由上文可知，这些子区间的共同特色是：若区间结尾为\(R\)则区间长度就为\(R\)的“二进制分解”下最小的\(2\)的次幂，咱们定义为\(lowbit(R)\)。对于给定的\(A\)序列，咱们维护一个\(c\)数组，其实这个\(c\)数组就是咱们所说的树状数组。\(c[i]\)中储存的是\(\sum A[i]\space (i\in [x-lowbit(x)+1,x])\)。

​ 树状数组的存储结构以下图：

​ 值得注意的是，这样的树状结构知足如下的4个性质：

\(1\). 每一个内部节点\(c[i]\)保存以它为根的子树中全部叶节点的和

\(2\). 每一个内部节点\(c[i]\)的子节点个数为\(lowbit(i)\)的大小

\(3\). 除树根外，每一个内部节点\(c[i]\)的父节点是\(c[i+lowbit(i)]\)

\(4\). 树的深度为\(O(logN)\)

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（2）如何使用树状数组

​ 接下来就讲到实现方面了，树状数组的实现是与上面\(4\)个性质分不开的。

第一部分：求\(lowbit(n)\)

​ \(lowbit(n)\)表示去除非负整数\(n\)在二进制下最低位的\(1\)以及它后边的\(0\)构成的数值。因而\(lowbit(n)=n\)&\((-n)\)，可是这是怎么来的呢，请听我细细道来（其实我也不知道）

设\(n>0\)，\(n\)的第\(k\)位是1，其他都是\(0\)

为了实现\(lowbit\)运算，先把\(n\)取反，此时第\(k\) 位变为\(0\)，其他都是\(1\)。再另\(n=n+1\)，此时由于进位 ，第\(k\)位变为\(1\)，其他都为\(0\)。在上面的取反加一操做后，\(n\)的第\(k+1\)到最高位刚好与原来相反，因此\(n\)&~\(n+1\)仅有第\(k\)位为\(1\)，其他位都是\(0\)。而在补码表示下，~\(n=-1-n\)，所以，\(lowbit(n)=n\)&\((-n)\)

​ 下面是这一部分的代码实现：

int lowbit(int n)
{
    return n&(-n);//这句话水的不能再水了，不说了
}

第二部分：单点操做（就是对某个元素进行加法操做，下面以加法为例）

​ 树状数组支持单点操做，根据性质\(一、3\)。每个内部节点\(c[i]\)保存以它为根的子树中全部叶节点的和，这就说明，咱们一旦对$A[i] \(进行改动，就必定要对\)c[i]\(进行改动，而且将全部\)c[i]\(的父亲节点改动。那么如何找到\)c[i]\(的父亲节点呢？其实咱们只须要将\)i\(更新为\)i+lowbit(i)$，就能够完成对父亲节点的遍历了。

​ 下面是这一部分的代码实现：

void update(int x,int y)//表示A[x]加y时维护c数组
{
    for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y;
}

第三部分：查询前缀和

​ 树状数组支持单点修改和区间查询，下面介绍一下区间查询前缀和的方式：

​ 在这里咱们所定义的前缀和，实际上就是\(\sum A[i] (i\in [1,x])\)。按照（\(1\)）中所讲，应该将$[1,x] \(分红\)logn\(个小区间，每一个小区间的区间和都已经保存在数组\)c$中。

​ 下面是这一部分的代码实现：（即\(O(logn)\)时间查询前缀和）

int sum(int x)//求1~x的前缀和
{
    int ans=0;//用ans存储前缀和
    for(;x;x-=lowbit(x))    ans+=c[i];//遍历子节点，累加ans
    return ans;//最后的答案就是ans
}

第四部分：统计\(A[x]···A[y]\)的值

​ 调用以上的\(sum\)函数，能够求出\(A[x]···A[y]\)得值就是\(sum(y)-sum(x-1)\)

第五部分：扩展（多维树状数组）

​ 因为处理每个树状数组的复杂度是\(O(logn)\)。因此它能够扩充到\(m\)维，这样一来，处理树状数组的复杂度就提高到了\(O(log^mn)\)，若\(m\)不大的时候，这个复杂度是能够被接受的。可是到底如何实现呢？

​ 其实，扩充树状数组的方式就是讲原来的一个循环改为\(m\)个循环，这一部分的代码以下：

void update(int x,int y,int z)//将(x,y)的值加上z
{
    int i=x;
    while(i<=n)//若是m更大，再多写几个while
    {
        int j=y;
        while(j<=m)
        {
            c[i][j]+=z;
            j+=lowbit(j);
        }
        i+=lowbit(i);
    }
}

int sum(int x,int y)
{
    int res=0,i=x;
    while(i>0)
    {
        int j=y;
        while(j>0)
        {
            res+=c[i][j];
            j-=lowbit(i);
        }
        i-=lowbit(i);
    }
    return res;
}

第六部分：注意事项

​ 要注意树状数组绝对不能出现下标为\(0\)的情况，由于啥啊，由于\(lowbit(0)=0\)啊！

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（\(3\)）树状数组的应用

树状数组的应用有不少，下面重点将洛谷上两个模板题讲解一下

首先是\(P3374\) 【模板】树状数组 \(1\)

【题目描述】

如题，已知一个数列，你须要进行下面两种操做：

\(1\).将某一个数加上\(x\)

\(2\).求出某区间每个数的和

直接上代码吧，就是不折不扣的板子题

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

const int maxn=500010;
int n,m;
int a[maxn],c[maxn];
int h,q,k;//我没得设变量啊TwT

int lowbit(int x)//就是算lowbit(x)
{
    return x&(-x);
}

void update(int x,int y)//就是将y插入到x中
{
    for(;x<=n;x+=lowbit(x))
    {
        c[x]+=y;
    }
}

int sum(int x)//就是计算A[1]+A[2]+···+A[x]的值
{
    int ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))
    {
        ans+=c[x];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        update(i,a[i]);
    }
    while(m)//循环读入数据
    {
        m--;
        scanf("%d",&h);
        if(h==1)//h是对类型的判断
        {
            scanf("%d%d",&q,&k);
            update(q,k);
        }
        if(h==2)
        {
            scanf("%d%d",&q,&k);
            printf("%d\n",sum(k)-sum(q-1));
        }
    }
    return 0;
}

上面的这道题是典型的树状数组“单点修改，区间查询题”。可是下面一道题就不是这样了！

\(P3368\) 【模板】树状数组 \(2\)

【题目描述】

如题，已知一个数列，你须要进行下面两种操做：

\(1\).将某区间每个数数加上\(x\)

\(2\).求出某一个数的值

【题目分析】

​ 诶？这道题好像是“区间修改，单点查询”的题额，怎么作呢？咱们引入一个叫作差分的概念：

假设\(A[]=\){\(1,5,3,6,4\)}，\(B[]=\){\(1,4,-2,3,-2\)}

咱们能够发现，若是规定\(A[0]=0\)，那么能够知足\(B[i]=A[i]-A[i-1]\)，而且\(A[i]=B[1]+B[2]+···+B[i]\)。

若是咱们在区间\([2,4]\)上加上\(2\)，按照相同的规则进行处理，能够获得\(B[]=\){\(1,7,-2,3,\)}，只有\(B[2]\)和\(B[5]\)有改动

因而咱们能够获得一个规律，即：对于\(A\),将区间\([l,r]\)中的每个数都加上一个数\(x\)，\(B[l]+=x;B[r+1]-=x\)

因而咱们能够开一个树状数组维护差分值，每次只须要将\(l\)和\(r+1\)进行操做，最后将须要查询的\(A\)值转化为\(B\)值求和就能够获得了！

​ 下面请食用代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

const int maxn=500010;
int n,m;
int a[maxn],c[maxn];
int h,q,k,d;

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void update(int x,int y)
{
    for(;x<=n;x+=lowbit(x))
    {
        c[x]+=y;
    }
}

int sum(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))
    {
        ans+=c[x];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    while(m)
    {
        m--;
        scanf("%d",&h);
        if(h==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&q,&k,&d);
            update(q,d);
            update(k+1,-d);
        }
        if(h==2)
        {
            scanf("%d",&q);
            printf("%d\n",a[q]+sum(q));
        }
    }
    return 0;
}
/*
    相信你们已经发现了，这段代码与前一段没有什么太大的区别，其实就是将读入增长了一个，输出减小了一个罢了
*/

\(end\)