【BZOJ4671】(斯特林反演)

题目

【BZOJ4671】异或图
颇有意思的题

作法

直接处理显然很难，咱们考虑范围扩大以求容斥或反演这类的帮助

\(f_i\)表示至少有\(i\)个联通块的方案，形如设立\(i\)个联通块轮廓，联通块内连边随意，联通块与联通块之间无连边

\(g_i\)表示刚好有\(i\)个联通块的方案，形如设立\(i\)个联通块轮廓，在保证内部联通的状况下，外部块与块间无连边

显然：\[f_x=\sum\limits_{i=x}^n\begin{Bmatrix}i\\x\end{Bmatrix}g_i\]

根据斯特林反演：\[g_x=\sum\limits_{i=x}^n (-1)^{i-x}\begin{bmatrix}i\\x\end{bmatrix}f_i\]

故\(g_1=\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i-1}\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}f_i\)

而\(\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}\)是阶乘形式：\(\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}=(i-1)!\)

化简答案为：\(g_1=\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i-1}(i-1)!f_i\)

考虑\(f_i\)如何求出：状压点所属联通块状态，则咱们要选择图集使块与块之间无边，考虑枚举每一个图的\(S\)表示点与点之间的连边(不属同一联通块)，咱们压到线性基里去，\(ele\)表示线性基元素，这些元素是不能选择的(相异)，故答案为\(2^{N-ele}\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
const LL maxn=109;
LL N,n;
LL G[maxn][maxn][maxn],a[maxn];
char s[maxn];
long long ans,p[maxn],S,fac[15];
void Dfs(LL x,LL up){
    if(x==n+1){
        memset(p,0,sizeof(p)); LL ele(0);
        for(LL i=1;i<=N;++i){
            S=0; LL tot(0);
            for(LL j=1;j<=n;++j)
                for(LL k=j+1;k<=n;++k)
                    if(a[k]!=a[j]){
                        S|=(1ll<<tot)*G[i][j][k];
                        ++tot;
                    }
            for(LL j=0;j<tot;++j){
                if(S&(1ll<<j)){
                    if(!p[j]){
                        p[j]=S;
                        ++ele;
                        break;
                    }else 
                        S^=p[j];
                }
            }
        }
        ans+=1ll*((up&1)?1:-1)*fac[up-1]*(1ll<<N-ele);
        return;
    }
    for(LL i=1;i<=up+1;++i){
        a[x]=i;
        Dfs(x+1,std::max(up,i));
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&N);
    for(LL i=1;i<=N;++i){
        scanf(" %s",s+1);
        LL len(strlen(s+1));
        if(!n){
            n=1;
            for(;n*(n-1)/2!=len;++n);
        }
        LL now(0);
        for(LL j=1;j<=n;++j) for(LL k=j+1;k<=n;++k) G[i][j][k]=s[++now]-'0';
    }
    fac[0]=fac[1]=1; for(LL i=2;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i;
    Dfs(1,0);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}