2017清北学堂（提升组精英班）集训笔记——字符串算法

啊~个人速度真的是太慢了，学校又要提早开学！！还有两个月就要比赛了，垂死挣扎一下吧~

继续更新笔记（眼含泪水）

1、Trie树：

1.定义：经过字符串建成一棵树，这棵树的节点个数必定是最少的。例如：4个字符串"ab","abc","bd","dda"对应的trie树以下：

其中红色节点表示存在一个字符串是以这个点结尾的。

一个性质：在树上，两个点u,v知足u是v的祖先，那么u表明的字符串必定是v表明的字符串的前缀。

2.Trie树的插入：能够从根节点出发，每次沿着要走的字符串往下走，若没有则创建新节点。

假如全部字符串的长度之和为n，构建这棵trie树的时间复杂度为O(n)。

 1 int root=1;
 2 int cnt=1;
 3 int p[i][j];//表示从i这个节点沿着j这个字符走，能走到哪一个点，走不到就是0
 4 char s[];//存储字符串 
 5 for(int i=1;i<=n;i++)
 6 {
 7     scanf("%s",s);
 8     int len=strlen(s);
 9     int now=root;//now表示走到的当前节点，now的初始值为根节点
10     for(int j=0;j<len;j++)
11     {
12         if(p[now][s[j]]>0){
13             now=p[now][s[j]];//若是能沿着j节点往下走，直接往下走
14         }
15         else{
16             pow[now][s[j]]=++cnt;
17             now=p[now][s[j]];
18         } 
19     } 
20     v[now]++;//记录now这个节点被访问的次数 
21 } 

3.Trie树的查询：能够看出trie树中每一个节点表示其中一个字符串的前缀，在作题过程当中每每经过这个性质来获得较好的时间复杂度。

4.一个例题：给定n个互不相同的串，求存在多少对数(i,j)（共n²对）知足第i个串是第j个串的前缀。

全部串的长度之和≤500000。

解题：根据性质，“在树上，两个点u,v知足u是v的祖先，那么u表明的字符串必定是v表明的字符串的前缀”。

咱们要知足一个串是另外一个串的前缀，也就是说，在trie树上，这个串对应的位置是另外一个串对应的位置的祖先。

构建这棵trie树，而后咱们枚举每一个红色点，它对答案的贡献是以它为根的子树中红色节点的个数之和。这个东西能够在一开始遍历这棵树预处理出来！

时间复杂度是线性的。

 1 void dfs(int x)
 2 {
 3     if(v[x]) sum[x]++;
 4     for(char i='a';i<='z';i++)
 5     {
 6         if(p[x][i])//从当前x沿着i这个字符走还能往下走 
 7         {
 8             dfs(p[x][i]);//往下走 
 9             sum[x]+=sum[p[x][i]];//累加贡献sum 
10         }
11     }
12 } 
13 dfs(1);//从根节点开始 

5.USACO的某题（这题真的乱）：给定n个串，重排字符之间的大小关系，问哪些串有可能成为字典序最小的串。

全部字符串的长度之和<=100000。

例如，有一个字符串，里面只有'a'~'z'这些字符，默认地，'a'是最小的，'z'是最大的。可是咱们能够从新定义字符间的大小关系，好比这样：b<c<d<y<x<z，从而咱们对于一些字符串，就按照咱们新定义的大小关系来比较字典序大小。

举个栗子：

三个字符串"aab","aba","baa"，总共只出现了两个字符'a'和'b'，因此字符间的大小关系要么是a<b要么是a>b，假设a<b，则第一个串"aab"就是字典序最小的串；假设b<a，则第三个串"baa"就是字典序最小的串，可是对于第二个串，不管咱们怎么定义字符间的大小关系，都不可能成为三个字符串中字典序最小的。

解题：首先对这n个串构建trie树，以后对每一个串，从根走向它，这个路程中遇到的全部兄弟在字典序下都比它大。

对于每一个串，从前日后，直接肯定这个字符的大小关系，判断是不是字典序最小。

如下两个串都是有可能成为字典序最小的串的：

abcd…xyza

abcd…xyzb

因此有：u是v的前缀，则v必定不是字典序最小的串。

如今问题来了：对于每一个串，在什么条件下，是字典序最小的？？

来个栗子：有一些字符串（"aabc"，"aac"，"aad"，"ac"，"adb"，"aabb"），构造trie树以下：

对于"aabc"这个串，往下遍历：

从深度为2的那一层，咱们能够获得：a<c,a<d；

从深度为3的那一层，咱们能够获得：b<c,b<d；

从深度为4的那一层，咱们还能够获得：c<b。

综上所述：咱们获得了一堆的关系：a<c,a<d；b<c,b<d；c<b，容易看出，这些关系是存在矛盾的，因此无解->"aabc"是不可能成为字典序最小的串。

因此要想有解，这一堆的关系必须知足两个条件：①不存在矛盾②不存在环

总的来讲，就是判断这一堆的关系是否存在拓扑序！

最多有26×26个大小关系，而最多有100000个字符串，因此时间复杂度最大为：O(26×26×100000)。

2、KMP算法（“看mao片算法”~咳咳）：

给定两个字符串A,B，判断T是否为S的子串（变式：寻找子串B在串A中的位置）。

要求一个O(|A|+|B|)的作法。

一般称A为目标串（或主串），B为模式串。

算法过程：

咱们假设串A的长度为n，串B的长度为m，每一个字符串的开头下标默认为1。

定义两个变量i和j，这两个变量共同表示：A[i-j+1~i]与B[1~j]均匹配，即：A中以第i个字符结尾的、长度为j的字符串，和B从头开始长度为j的字符串彻底匹配。

继续往下匹配：若是i+1和j+1不匹配。

如今，就是用到了KMP算法的核心：它对这一状况的处理方式是减小j，就至关于将子串向右平移。

平移的目的是为了让“A[i-j+1~i]与B[1~j]均匹配”这个条件从新知足。

在上图中，j一直减少到了0，由于向右平移的过程当中，始终不能让这个条件知足（最右边"?"部分已经越界）

但有时候，将j减小一点点以后，是能够从新知足条件的，例如：

那么咱们将j从7减少到4时，有：

这样就能够彻底匹配啦！可是后面还有没有匹配的机会咱们就无论了，至少咱们已经保证A[4~7]和B[1~4]彻底匹配上了。

如今考虑一个问题：咱们每次把j减少1（一位一位地平移B字符串），这样太慢了，咱们在这里预处理一个next[]数组，表示当j匹配不下去的时候，咱们能够把j减小到next[j]，继续尝试匹配。

预处理过程：让j本身和本身匹配一下，一旦匹配发现B[k-m+1~k] 和 B[1~m] 匹配，则说明在A与B匹配过程当中，j等于k匹配不下去时，j能够尝试减少到m。

过程以下：

/**************************************///靓丽的分界线

一些代码：

 1 /*核心内容*/
 2 for(int i=1,j=0;i<=n;i++)
 3 {
 4     while(j&&B[j+1]!= A[i]) j=next[j];
 5     if(B[j+1]==A[i]) j++;
 6     if(j==m)
 7     {
 8         printf("%d\n", i-j+1);//输出找到的"B字串在 A中位置"
 9         //若是要求的是出现次数，这里也有多是ans++什么的
10         j=next[j];//让循环进行下去
11     }
12 }

1 for(int i=2,j=0;i<=m;i++)/*预处理next[]数组*/ 2 {
3     while(j&&B[j+1]!=B[i]) j=next[j];
4     if(B[j+1]==B[i]) j++;
5     next[i]=j;
6 }

经典例题：Blue jeans（POJ 3080）

给定m个串，求字典序最小的公共子串。找一个串，使得这个串是全部串的子串，而且字典序最小。

m≤10，每一个串的长度≤60.

解题思路：一个串，若是是全部串的子串，那么确定是第一个串的子串。

枚举全部子串，复杂度为60*60。
验证其它串是否包含这个子串，复杂度为10*60。
每次更新答案便可。

时间复杂度为：O(60³×10)

经典例题：Seek the Name,Seek the Fame（POJ 2752）

给定一个字符串S，求全部既是S的前缀又是S的后缀的子串，从小到大输出这些串的长度。
|S|<=500000。

N为字符串S的长度。

解题思路：

回到KMP算法，咱们令P[j]表示找最大的数x，使得B中位置是1~x的字符与j-x+1~j的字符彻底相同，也就是上面讲的KMP算法中的next[]。

考虑P[|S|]的意义，也就是最大的前缀等于后缀的长度（不包括其自己）。

那P[P[|S|]]就是次大的。
所以全部P[P[…P[|S|]]]就是答案了，一直这样递归下去就能够找到答案。

或者用Hash来作，这样更容易想到也比较方便，但效率没有KMP高。

3、AC自动机：

有n个模式串，长度之和是|T|，有一个主串，长度是|S|，问哪些模式串是这个主串的子串（或者有多少个模式串在主串中出现过）？

解法一：直接跑n次KMP算法，时间复杂度：O(n×|S|)。

解法二：AC自动机，时间复杂度：O(|T|+|S|)，对于n个串，构建trie树，在trie树上作KMP。

在这里我来详解一下AC自动机啊~

首先咱们定义一个指针，叫作“失配指针”或者“失败指针”，在KMP算法中，这个失配指针就是next[]数组，一样地在AC自动机中，在trie树上也定义一个失配指针与此相似但不彻底相同。

失配指针：假设一个节点k的失配指针指向j，那么k、j知足性质：设根节点root到j的距离为n，则从k以上的第n个节点到k这个节点所组成的长度为n的单词，与根节点root到j所组成的单词彻底相同。

以下图：

单词"she"中的'e'的失配指针指向的是单词"her"中的'e'，由于红框中的部分是彻底同样的。

而后，问题来了，咱们该怎样处理这个失配指针呢？其实咱们能够用BFS就很方便地解决了。

处理过程：让和根节点直接相连的节点的失配指针指向根节点，对于其余节点（假设为a），设这个节点上的字母为ch，沿着a的父亲b的失配指针走，一直走到一个节点c，c的儿子中也有字母为ch的节点d，而后把a节点的失配指针指向c节点的儿子d（由于d的字母也为ch），若是一直走到了根节点都没找到，那就把失配指针指向根节点。

最开始，咱们把根节点加入队列(根节点的失败指针显然指向本身)，这之后咱们每处理一个点，就把它的全部儿子加入队列，直到搞完。

这样咱们就获得了一棵带有失配指针的trie树了，接下来正式介绍AC自动机工做原理！

AC自动机原理：对于一棵trie树，咱们用黄色表示一个单词（某个模式串）的末尾，也就是说从根节点走到一个黄色的点，就组成一个“单词”，以下图：

一开始，trie树中有一个指针t1指向根节点root，将这n个模式串合并为一个模式主串，模式主串中有一个指针t2指向这个模式主串的串头。

接下来进行相似KMP算法的操做：若是t2指向的字母，是trie树中，t1指向的节点的儿子，那么把t2+1，t1改成那个儿子的编号，不然t1顺这当前节点的失配指针往上找，直到t2是t1的一个儿子，或者t1指向根为止。

若是t1通过了一个黄色的点，那么以这个点结尾的单词就算出现过了（这个模式串已经在主串中出现了），或者若是t1所在的点能够沿着失配指针走到一个黄色的点，那么以那个黄色的点为结尾的单词就算出现过了（这个模式串已经在主串中出现了），记录答案便可。

代码。。。我比较懒并且弱，之后有机会再发吧！

经典例题：伪装是字符串的题——正则表达式（ZHW YY出来的题）

给定一个字符串，判断其是否为合法的正则表达式。

一个正则表达式定义为：

①0是正则表达式，1也是正则表达式。

②P和Q都是正则表达式，则PQ也是正则表达式。

③P是正则表达式，则(P)是正则表达式

④P是正则表达式，则P*也是正则表达式

⑤P和Q都是正则表达式，则P|Q是正则表达式

举个栗子：

010101101*
(11|0*)*

以上都是都是正则表达式
|S|<=100

解题思路：令dp[i][j]表示第i个字符到第j个字符可否组成正则表达式，分5种状况进行转移就能够了。

四：对拍方法：

对拍：你给两个程序，和一个随机数据生成器，而后系统去用这个随机数据生成器的输出做为你这两个程序的输入，而后比较你这两个程序的输出，能够找到一组使这两个程序输出不同的数据（若是存在的话），这样就能够提升正确率。

通常的对拍是：对于一个题，咱们写一个暴力算法，管它什么时间空间效率呢？！而后写一个你对于这题的正确解法程序，拿这两个程序进行对拍。

对拍的实现过程：

首先，在本地新建一个文件夹。

而后，在里面放入std.exe、mkdt.exe、a.exe这三个exe程序（名字能够本身乱取）。

std.exe：你暴力写的一个作法或者你从网上找的一份AC代码生成的程序，反正结果确定是对的。

a.exe：你的代码生成的程序，你不知道他对不对或者你知道他是WA的可是你不知道哪里WA了。

mkdt.exe：就是你的随机数据生成器，你能够用它去生成你认为的合法数据。

最后，在文件夹中新建一个txt记事本文档，在里面输入如下代码：

1 :loop
2     mkdt.exe
3     std.exe
4     a.exe
5     fc std.out a.out
6     if %errorlevel%==0 goto loop
7 pause

而后保存，把".txt"这个后缀名改成".bat"，双击运行便可！

5、随机算法：

①随机生成一棵树：

1 for(int i=2;i<=n;i++)/*随机生成一棵树*/
2 {
3     cout<<rand()%(i-1)+1<<' '<<i<<endl;
4 }//深度为lgn 

②随机生成一棵长毛的链：

1 /*随机生成一棵长毛的链：1~n/2*/
2 for(int i=2;i<=n/2;i++) cout<<i-1<<' 'i<<endl;
3 for(int i=n/2+1;i<=n;i++) cout<<rand()%(i-1)+1<<' '<<endl; 

③给你一张图，生成一张图：

 1 /*给你一张图，生成一张图，10万个点，20万条边 */
 2 map<long long,int> mp;
 3 for(int i=1;i<=200000;i++)
 4 {
 5     int A=rand()%n+1;
 6     int B=rand()%n+1;
 7     while(A==B||mp[1ll*A*100005+B])
 8     {
 9         A=rand()%n+1;
10         B=rand()%n+1;
11     }
12     mp[1ll*A*10005+B]=1;
13     cout<<A<<' '<<B<<endl;
14 } 

④随机生成一个连通图：

先生成一棵树，这棵树上的边是必定存在的，在随机其余的边。

最近发现一些网站盗用个人blog，这实在不能忍（™把关于个人名字什么的所有删去只保留文本啥意思。。）！！但愿各位转载引用时请注明出处，谢谢配合噢~

原博客惟一地址：http://www.cnblogs.com/geek-007/p/7296453.html