网络最大流入门
前言
网络最大流是网络流中最基础也是最重要的部分，后边的许多模型也都是由最大流问题引伸而来的html
最大流
在研究这个问题以前，让咱们先来学习一下前置知识算法
可行流
设$f(u,v)$表示边$(u,v)$的当前容量上限网络
设$c(u,v)$表示边$(u,v)$的最大容量上限性能
若是网络流图中的流量知足学习
- 源点$S$：流出量$=$流量总量
- 汇点$T$：流入量$=$流量总量
- 任意边$(u,v)$：$0<=f(u,v)<=c(u,v)$
则称该流为一个可行流优化
增广
增广：即增长一条路径上的流量spa
增长一条路径的流量，即减小这条路径的当前流量上限，即$f(u,v)$的值3d
增广是咱们求解最大流的基础code
最大流
定义：在全部可行流中流量最大的流htm
那么咱们如何求解这个东西呢？
很显然的一种思路就是找到整个网络中的容量上限最小的边
增广(就是加流量)这条路径，不断的重复
暂且不说这么作时间复杂度如何
咱们先考虑一下它的正确性。
这么作貌似颇有道理，
可是！
以上图为例，如只是无脑增广的话，极可能对SABT这条边进行增广，而增广完这条边后，就再也没有能够增广的路径了，求出的最大流为$3$，下图为增广后的网络流图
很显然，这么作是错的，由于咱们能够分别增广$SAT$，$SBT$这两条路径，获得的流量为$6$
那怎么解决这个问题呢？
咱们须要引入一个很是重要的概念——反向边
例如，对于$SA$这条容量为$3$的边，咱们能够认为存在一条容量为$0$的边$AS$与之对应，对于$SA$进行增广，即减少它的容量上限，至关于增大$AS$的容量上限
也就是说，咱们容许从$SA$流出的流量倒流回去，给它一个悔改的机会
这样，对于上图而言，咱们能够借助反向边来更改本身的错误操做，创建反向边后的图以下图所示
这样咱们便又有了一条新的增广路$SBAT$，对这条路径进行增广后咱们即可以获得网络最大流为$5$
考虑一下，为何这样是对的？
缘由很简单，形成咱们刚开始作出错误决策的边为$AB$，最大流本不该通过这里，可是咱们却无脑的通过了这里
由于反向边$BA$的存在，咱们又把从$A$流向$B$的流量给退了回去。这就至关于没有通过$AB$这条边
（本节如下内容读者能够直接略过，属于本蒟蒻瞎扯，可能把读者带到沟里面，目前已有一人受害）
反向弧到这里本就应该结束了，可是本蒟蒻在学习的过程当中一直有个问题不明白
为何加反向弧是对的？
若是不考虑反向弧，咱们选择的路径为$SAT$，$SBT$，可是加了反向弧以后咱们的路径貌似不是这么选的啊。。
尤为是$AT$这条边的流量，本应该是从$SA$流过来，但实际是从$SB$流过来。
这样为何是对的呢？
这个问题我思考了很长时间，最终得出了一个很不靠谱的结论
由于通过$AB$这条边的流量为$SA,AB,BT$的最小值，而后xjb分状况讨论一下，%……&*（）（）*&……%￥）（大概要分个一二十种状况吧，而后发现都是对的，其实就是各边之间的流量等效替代问题。。。）
看到这儿的同窗，恭喜大家被带到坑里啦O(∩_∩)O哈哈~
实现
我目前见过的最大流算法有如下几种
- EK（最简单，比较慢）
- Dinic（最多见，性能良好）
- ISAP/SAP（也比较常见，性能很好）
- 最高标号预流推动(HLPP) （暂时还没学。。）
- 前置重贴标签（什么鬼。。。）
- 推送重贴标签（WTF......）
对于这些算法，博主给你们的建议是：
- 理解第一种方法，并用代码实现一次
- 熟练掌握第二种算法，深入的理解其内涵，并能作到超级熟练的运用（起码5min以内要敲出来&&没有错误）
- 理解第三种算法，并至少运用一次。（由于第三种算法跑的比较快，因此能够用来抢排行榜$rank1$）
- 第四五六中算法建议你们理解其内涵，代码实现就无所谓了，由于基本用不到，不过学会了能够用来装13:joy:
另外，在书上看到过听说可使用动态树优化最大流算法，可是把百度翻遍了也没找到代码。。。
若是您会的话欢迎教一下本蒟蒻，感激涕零
因为想讲的详细一些，因此想了一下把每一个算法分开讲吧，我会尽快更新哒:grinning:
（最近这几天可能不太好办了，由于博主在外面学(bei)习(nue)，只有晚上才能更博客）