数据结构之算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，而且每条指令表示一个或多个操做。

算法是须要单独讲解的，在数据结构中谈到算法，是为了帮助理解好数据结构，并不会详谈算法的方方面面。

两种算法的比较

1+2+3+.....+100

算法1：

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int i, sum = 0, n = 100;
	for(i = 1; i <= n; i++){
	    sum += i;
	}
	printf("%d", sum);
	return 0;
}

 算法2（高斯的算法）：

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int i, sum = 0, n = 100;
　　sum = (1+n)*n/2;
　　printf("%d", sum);
　　return 0;
}

显然高斯的算法厉害不少。

算法的特性

五个基本特性：输入、输出、有穷性、肯定性和可行性

一、输入输出

　　算法具备林哥或多个输入，但至少有一个或多个输出，输出的形式能够是打印、返回一个或多个值。

二、有穷性

　　算法在指定邮箱的步骤以后，自动结束而不会出现无限循环，且每一个步骤在可接受的时间内完成。

三、肯定性

　　算法的每一步骤都具备肯定的含义，不会出现二义性。

四、可行性

　　算法的每一步都必须是可行的。

算法设计的要求

 好的算法应该具备：正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量的特征。

一、正确性

　　至少应该具备输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的要求，能获得问题的正确答案。

　　但一般对“正确”的理解有很大差异，大体分为如下四个层次：

　　　　（1）没有语法错误；

　　　　（2）合法的输入数据能产生知足要求的输出结果

　　　　（3）非法的输入数据能知足规格说明的结果；

　　　　（4）精心选择的，甚至刁难的测试数据都有知足要求的输出结果

　　证实一个复杂算在全部层次是正确的，代价很是昂贵，因此通常，咱们把层次3做为一个算法是否正确的标准。

二、可读性

　　便于阅读、理解和交流。可读性是算法好坏很重要的标志。

三、健壮性

　　输入数据不合法是，算法也能作出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的问题。

四、时间效率高和存储量低

函数的逐渐增加

　　判断一个算法的效率时，函数中的参数和其余次要项经常能够忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

　　某个算法，随着n的增加，它会愈来愈优于另外一算法，或愈来愈差于另外一算法。

算法的时间复杂度

一、定义

　　T(n)=O(f(n)) ，表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增加率和f(n)的增加率相同，称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

用O( )体现算法时间复杂度的记法，称为 大O记法。

二、推导大O阶方法

　　（1）用常数1取代运行时间中的全部加法常数。

　　（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

　　（3）若是最高阶项存在且不是1，这去除与这个项相乘的常数。

　　获得的结果就是大O阶。

举例：

三、常数阶

下面这个算法不是O(3),而是O(1)　　

int i, sum = 0, n = 100; /*执行一次*/
sum = (1+n)*n/2; /*执行一次*/
printf("%d", sum); /*执行一次*/

执行时间恒定的算法，称之为具备O(1)的时间复杂度，又叫常数阶

无论常数是多少，咱们都记做O(1),而不能是O(3)等其余任何数字，这是初学者常犯的错误。

对于分支结构（不包含在循环结构中），不管真假，执行次数都是恒定的，因此其时间复杂度也是O(1).

四、线性阶

　　分析算法的复杂度，关键是要分析出循环结构的运行状况。

　　下面这段代码是O(n)，由于循环体要执行n次　

 int i, sum = 0, n = 100;
	for(i = 1; i <= n; i++){
	    sum += i;
	}

五、对数阶

下面这段代码，x = ㏒₂n,因此时间复杂度为O(㏒n)

int count = 1, n = 100;
	while (count < n) {
	    count *= 2;
	}

六、平方阶

下面这段代码，循环体的嵌套，时间复杂度为O(n²)

for(int i = 0;i <n; i++){
	    for(int j = 0;j <n; j++){
	        printf("test")
	    }
	}

理解大O推导不难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。

常见的时间复杂度

时间复杂度耗费时间从小到大排序依次是

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
5㏒₂n+20	O(㏒n)	对数阶
2n+1	O(n)	线性阶
2n+3n㏒₂n+19	O(n㏒n)	n㏒n阶
3n²+2n+1	O(n²)	平方阶
6n³+2n²+3n+4	O(n³)	立方阶
2ⁿ	O(2ⁿ)	指数阶

 

 

 

 

 

 

 

固然还有O(n!)和O(nⁿ)，但O(n³)、O(2ⁿ)、O(n!)和O(nⁿ)除非很小的n值，不然哪怕n只是100，都是噩梦般的运行时间，对于这种不切实际的算法时间复杂度，通常都不讨论它。

最坏状况运行时间和平均运行时间

最坏状况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，一般，咱们提到的运行时间都是最坏状况的运行时间。

而平均运行时间是全部状况中最有意义的，由于它是指望的运行时间。

算法空间复杂度

写代码时，彻底能够用空间换取时间。

算法的空间复杂度经过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记做：S(n)=O(f(n))。

咱们讨论的通常都是算法的时间复杂度。