SVM——支持向量机，人脸识别实验

　　最基本的SVM（Support Vector Machine）旨在使用一个超平面，分离线性可分的二类样本，其中正反两类分别在超平面的一侧。SVM算法则是要找出一个最优的超平面。

线性可分SVM

优化函数定义

　　给定一个特征空间线性可分的数据集：

$T = \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$

　　特征分布相似下图：

　　如上图，当特征空间为二维时，超平面就是比二维空间第一维度的直线。任意维超平面定义以下（其中$x$是$n$维特征向量，$w,b$是超平面系数）：

$wx+b = 0$

　　对于正例应有$wx_i+b > 0$，反例应有$wx_i+b < 0$，也就是说，若是分类正确，应有：

$y_i(wx_i+b)> 0$

　　从直观上看，最优超平面，应该是在将全部样本都正确分类的基础上，使与之距离最近的样本点的距离最大化。点到面的距离公式中学学过

$\displaystyle \frac{|wx+b|}{|| w ||}$

　　综上，优化的问题用数学方式表达：

$\displaystyle\max\limits_{w,b}\min\limits_{i}(\frac{y_i(wx_i+b)}{||w||})$

　　或者

$\begin{align*} &\max\limits_{w,b}\;\gamma \\ &\;\text{s.t.}\;\;\;y_i(\frac{w}{||w||}x_i+\frac{b}{||w||})\ge \gamma,\;\;i=1,2,...,N \end{align*}$

　　其中$\gamma$为最小距离。令$ \hat{\gamma}=\gamma||w|| $，即所谓“函数距离”，上式可变为：

$\begin{align*} &\max\limits_{w,b}\;\frac{\hat{\gamma}}{||w||} \\ &\;\text{s.t.}\;\;\;y_i(wx_i+{b})\ge \hat{\gamma },\;\;i=1,2,...,N\end{align*}$

　　$\hat{\gamma}$没有被$||w||$规范化，所以大小与$||w||$有关。而$w,b$等比例变化时，超平面并无变。所以，能够固定$||w||=1$，最大化$\hat{\gamma}$，即：

$\begin{align*} &\max\limits_{w,b}\;\hat{\gamma}\\ &\;\text{s.t.}\;\;\;y_i(wx_i+{b})\ge \hat{\gamma },\;\;i=1,2,...,N\end{align*}$ 

　　或者固定$\hat{\gamma}=1$，最小化$||w||$，也就是：

$\begin{align*} &\min\limits_{w,b}\;\frac{1}{2}||w||^2 \\ &\;\text{s.t.}\;\;\;y_i(wx_i+{b})\ge 1,\;\;i=1,2,...,N\end{align*}$

　　一般是最小化$||w||$。这是一个凸二次规划问题，即待优化的函数$\frac{1}{2}||w||^2$是二次函数，不等式约束条件$1-y_i(wx_i+{b})\le 0$为可微凸函数（注意！小于等于0要求凸函数，若是大于等于0就要求是凹函数了）。

对偶算法

　　上述带约束优化知足原始问题最优值与对偶问题最优值取等的条件，所以可使用拉格朗日对偶性（点击连接）将原始优化问题转换为其对偶问题求解。原始问题的拉格朗日函数为：

$\displaystyle \begin{gather}L(w,b,\alpha) = \frac{1}{2}||w||^2- \sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i(wx_i+b)+\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i,\,\,\alpha\ge 0  \label{}\end{gather}$

　　所以原始问题为：

$\displaystyle \begin{gather} \min\limits_{w,b}\max\limits_{\alpha\ge 0 }L(w,b,\alpha)  \label{}\end{gather}$

　　则对偶问题为：

$\displaystyle \begin{gather}\max\limits_{\alpha\ge 0 } \min\limits_{w,b}L(w,b,\alpha)  \label{}\end{gather}$

　　由KKT条件1式令梯度为0，计算对偶问题内部的$\min$函数

$\begin{aligned} &\nabla_wL(w,b,\alpha) = w-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_ix_i=0 \\ &\nabla_bL(w,b,\alpha) = -\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0 \\ \end{aligned}$

　　得

$\begin{gather} &w = \sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_ix_i \\ &\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0 \label{}\end{gather}$

　　代入$(3)$式，通过计算，对偶问题变为：

$\begin{gather} \begin{array}{lcl} \min\limits_{\alpha}\displaystyle\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_ix_j)-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i \\ \begin{aligned} \text{s.t.}\;&\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0\\ &\alpha_i\ge 0,i = 1,2,...,N \end{aligned} \end{array} \end{gather}$

　　这样，只需先优化对偶问题，计算出最优的$\alpha^*$，再代入$(4)$式便可算出最优$w^*$。对于$b$，由于至少有一个$\alpha_j^*>0$（若是全都为0，由$(4)$式有$w=0$，不符合约束），对应KKT条件2式

$\alpha_i(y_i(wx_i+b)-1)=0$

　　因而有

$y_j(w^*x_j+b^*)-1=0$

　　实际上这个$x_j$就是与超平面最近的的样本，也就是所谓的支持向量。另外也说明了这个优化问题的解必定在不等式约束的边界上，而不在其内部。因而，提取$b^*$并将$(4)$式代入，得：

$\begin{gather}\displaystyle b^* = y_j-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i^*y_i(x_ix_j)\end{gather}$

　　综上，计算最优$w^*,b^*$的操做就是：先$(6)$式算出$\alpha^*$，再代入$(4),(7)$式算出$w^*,b^*$。

　　可是$(6)$实际上并很差算，当样本量一大，$\alpha$须要分类讨论的状况数以指数级上升（即每一个$\alpha$是否为0），后面介绍开销小的算法。

线性SVM

参数计算

　　有时样本会有特异点，不能保证每一个样本都知足不等式约束。所以修改上面的“硬间隔最大化”为“软间隔最大化”，则线性可分SVM变为线性SVM。即添加一个松弛变量$\xi$，容许原来的不等式约束不必定严格知足，固然在优化函数中也要把这一损失加上，乘上惩罚参数$C$。获得以下最优化问题：

$\begin{gather} \begin{array}{lcl} \min\limits_{w,b,\xi}\;\displaystyle\frac{1}{2}||w||^2+C\sum\limits_{i=1}^{N}\xi_i \\ \begin{aligned} \text{s.t.}\;\;\;&y_i(wx_i+{b})\ge 1-\xi_i,\;\;i=1,2,...,N\\ &\xi_i\ge 0,\;\;i=1,2,...,N\\ \end{aligned} \end{array}\end{gather}$

　　显然待优化函数与不等式约束都是凸函数（仿射函数也是凸函数）。所以一样符合KKT条件，能够对偶化计算。拉格朗日函数为：

$ \begin{aligned} \displaystyle L(w,b,\xi,\alpha,\mu) =& \frac{1}{2}||w||^2+C\sum\limits_{i=1}^{N}\xi_i-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i(y_i(wx_i+b)-1+\xi_i)-\sum\limits_{i=1}^{N}\mu_i\xi_i,\\ &\text{where}\;\;\alpha_i\ge 0,\mu_i\ge 0 \end{aligned} $

　　则原始问题变为：

$ \min\limits_{w,b,\xi}\max \limits_{\alpha\ge 0 ,\mu \ge 0}L(w,b,\xi,\alpha,\mu) $

　　其对偶问题为：

$\begin{gather} \max \limits_{\alpha\ge 0 ,\mu \ge 0}\min\limits_{w,b,\xi}L(w,b,\xi,\alpha,\mu) \end{gather}$

　　由KKT条件1式令梯度为0，计算对偶问题内部$\min$函数，得：

\begin{align} &\nabla_wL(w,b,\xi,\alpha,\mu) = w-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_ix_i=0 \\ &\nabla_bL(w,b,\xi,\alpha,\mu) = -\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0 \notag\\ &\nabla_{\xi_i}L(w,b,\xi,\alpha,\mu) = C-\alpha_i-\mu_i=0 \notag \end{align}

　　代入$(9)$式，对偶问题变为：

\begin{gather} \begin{array}{lcl} \min\limits_{\alpha}\displaystyle\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_ix_j)-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i \\ \begin{aligned} \text{s.t.}\;&\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0\\ &0\le\alpha_i\le C,\;\;i = 1,2,...,N \end{aligned} \end{array} \end{gather}

　　其中$\alpha_i\le C$是因为$C-\alpha_i=\mu_i\ge0 $。相似地，接下来的操做就是：

　　一、算出$(11)$式的最优$\alpha^*$。

　　二、$\alpha^*$代入$(10)$式计算$w^*$。

　　三、找出知足$\alpha_j^*$知足$0<\alpha_j^*<C$。

　　　　此时$\mu_j^* = C-\alpha_j^*>0$，由KKT条件2式，有$\mu_j^*\xi_j^*=0$，所以$\xi_j^*=0$。

　　　　一样地，由KKT2式，有$\alpha_j^*(y_j(w^*x_j+b^*)-1+\xi_j^*)=0$，因$\alpha_j^*>0$，因而有：

$\displaystyle b^* = y_j-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i^*y_i(x_ix_j)$

支持向量

　　在线性SVM中，由于有松弛变量$\xi$，不等式约束取等时样本不必定在其类别的边界上。上面只讨论了使用小于$C$的$\alpha_j^*$，下面作个总结：
　　一、若$\alpha_i^* = 0$ ，则$\xi_i = 0$ ，分类正确，$x_i$在分离间隔边界的外侧；

　　二、若$0<\alpha_i^* < C$ ，则$\xi_i = 0$ ，分类正确，支持向量$x_i$刚好落在间隔边界上；

　　三、若$\alpha_i^* = C,0<\xi_i<1$ ，则分类正确，$x_i$在间隔边界与分离超平面之间；

　　四、若$\alpha_i^* = C,\xi_i=1$，则分类错误，$x_i$在分离超平面上；

　　五、若$\alpha_i^* = C,\xi_i>1$，则分类错误，$x_i$位于分离超平面误分一侧。

　　其中2~5都是支持向量。

合页损失函数

　　线性SVM还有另外一种等价的优化目标函数：

$\begin{gather}\displaystyle \min\limits_{w,b}\sum\limits_{i=1}^{N}\left[1-y_i(wx_i+b)\right]_++\lambda||w||^2\end{gather}$

　　其中

$[z]_+= \left\{ \begin{aligned} &z,\;\;z>0 \\ &0,\;\;z\le0 \end{aligned} \right.$

　　感受能够直接梯度降低。

等价性证实

　　令$(12)$中

$\left[1-y_i(wx_i+b)\right]_+=\xi_i$

　　则

　　一、有$\xi_i\ge 0$（一个不等式约束成立）；

　　二、当$1-y_i(wx_i+b)>0$时，可得$y_i(wx_i+b)=1-\xi_i$；

　　三、当$1-y_i(wx_i+b)\le0$时，$\xi_i=0$，有$y_i(wx_i+b)\ge1-\xi_i$。

　　　　综合二、3，不论$1-y_i(wx_i+b)$如何取值，总有$y_i(wx_i+b)\ge1-\xi_i$（另外一个不等式约束成立）。

　　因而$(12)$可写成：

\begin{array}{lcl} \min\limits_{w,b,\xi}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{N}\xi_i+\lambda||w||^2\\ \begin{aligned} \text{s.t.}\;\;\;&y_i(wx_i+{b})\ge 1-\xi_i,\;\;i=1,2,...,N\\ &\xi_i\ge 0,\;\;i=1,2,...,N\\ \end{aligned} \end{array}

　　而后优化项常系数权重改一下就和$(8)$如出一辙了。

非线性SVM

　　对于特征分布是非线性的样本，须要将非线性可分特征映射到另外一个空间（维度不变或变高均可），变成线性可分特征。而后才能用线性SVM来优化参数。如图下左图到右图：

　　理论上须要定义肯定的映射函数将输入映射成线性可分的特征，实际上这一中间环节能够隐去。下面说明这一方法。

核技巧

　　定义从输入空间到特征空间的映射$\phi(x):\mathcal{X}\to \mathcal{H}$，观察线性可分SVM的对偶问题和最终的判别函数，里面关于样本特征之间的运算都是内积。所以映射后的线性可分的样本特征要作的一样是内积。定义这一内积为：

$K(x,z)=<\phi(x),\phi(z)>$，后面内积直接用$\phi(x)\phi(z)$表示

　　样本的维度比较小还好，好比上图的二维，能够直接想出一个映射，可是当维度很高时就很难想了。所以想到，能够跳过定义映射，直接定义这个$K(x,z)$，称之为核函数。那么什么样的核函数必定能够表示成两个映射后的向量的内积呢？这样的核函数叫作正定核。

正定核的充要条件

　　设$K:\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to R$为对称函数，则$K(x ,z) $为正定核函数的充要条件是：

　　对任意$x_i \in \mathcal{X}， i=1, 2,..., n, K(x， z) $对应的Gram 矩阵

$ \left[ \begin{matrix} K(x_1,x_1)&\cdots&K(x_1,x_n)\\ \vdots&&\vdots\\ K(x_n,x_1)&\cdots&K(x_n,x_n)\\ \end{matrix} \right]\succeq 0$

　　$\succeq 0$表示半正定。具体证实请看《统计学习方法》P136~139

经常使用正定核

　　线性核（即直接内积）：

$K(x,z)=xz$

　　多项式核：

$K(x,z)=(xz+1)^p$

　　高斯核：

$\displaystyle K(x,z)=\exp(-\frac{||x-z||^2}{2\sigma^2})$

　　使用核函数后，待优化的对偶问题变为：

$ \begin{array}{lcl} \min\limits_{\alpha}\displaystyle\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(x_i,x_j)-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i \\ \begin{aligned} \text{s.t.}\;&\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0\\ &0\le\alpha_i\le C,\;\;i = 1,2,...,N \end{aligned} \end{array} $

　　分类决策函数变为：

$\displaystyle f(x) = \text{sign}\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha^*_iy_iK(x_i,x)+b^*\right)=\text{sign}\left(\sum\limits_{i\in S}\alpha^*_iy_iK(x_i,x)+b^*\right)$

　　即原来的直接内积$x_ix$变成了先映射再内积的$K(x_i,x)$。其中$S$为支持向量集合（$\alpha$不为0的样本集合，即2.2支持向量中的2~5）。

　　然而，选择合适的正定核以使输入映射成线性可分还须要做其它的努力。。。。。。。。。。

SMO算法

　　正如前面所说，在对偶问题中，$\alpha$须要分类讨论的状况数随着样本量的增大以指数级上升（即每一个$\alpha$是否为0），SMO（sequential minimal optimization）算法能够加快对偶问题的优化。它采用迭代的方式，每次将待优化问题分离出一个小问题求解，最终求解原问题。

具体流程

初始化

　　初始化全部的$\alpha_i$为常数（一般为0），此时这些$\alpha_i$知足对偶问题的两个不等式约束：

$\begin{gather}&\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0\\ &0\le\alpha_i\le C,\;\;i = 1,2,...,N\\ \label{}\end{gather}$

　　实际上就是知足KKT条件的1和4，由于$(13)$是条件1使梯度为0得出的，$(14)$是条件1和4共同获得的。可是，它们并不必定同时知足KKT条件的2和3（由于原问题没有等式约束，因此没有条件5）：

$\begin{gather}\displaystyle\alpha_i(1-\xi_i-y_i(\sum\limits_{j=1}^N\alpha_jy_jK_{ji}+b))=0\label{}\end{gather}$

$\begin{gather}\displaystyle1-\xi_i-y_i(\sum\limits_{j=1}^N\alpha_jy_jK_{ji}+b)\le0\label{}\end{gather}$

　　也就是：

$\begin{gather}y_i(\sum\limits_{j=1}^N\alpha_jy_jK_{ji}+b)\left\{\begin{aligned}&\ge1,\;\;\alpha_i=0\\&=1,\;\;0<\alpha_i<C\\&\le1,\;\;\alpha_i=C\\\end{aligned}\right.\label{}\end{gather}$

　　若是条件2和3也都知足的话，就迭代结束，也就达到最终的解了。其中每次迭代都会保持$(13),(14)$两个约束成立。

迭代优化

　　每次迭代，选出最“很差”的两个$\alpha$来进行优化，固定剩下的$N-2$个$\alpha$（这样的操做有点像小批量梯度降低）。如何才算“很差”的$\alpha$放后面讲，由于选择$\alpha$基于优化的效率，为了说明效率所在，因此先说优化。

　　不失通常性，假设选择的两个变量是$\alpha_1,\alpha_2$。则这个子问题能够写为（最小化中将与$\alpha_1,\alpha_2$无关的项去了）：

$\begin{array}{lcl} \begin{aligned} \min\limits_{\alpha_i,\alpha_2}W(\alpha_1,\alpha_2) = &\frac{1}{2}K_{11}\alpha_1^2+\frac{1}{2}K_{22}\alpha_2^2+y_1y_2K_{12}\alpha_1\alpha_2-\\ &(\alpha_1+\alpha_2)+y_1\alpha_1\sum\limits_{i=3}^Ny_i\alpha_iK_{i1}+y_2\alpha_2\sum\limits_{i=3}^Ny_i\alpha_iK_{i2} \\ \end{aligned}\\ \begin{aligned} \text{s.t.}\;\;&\alpha_1y_1+\alpha_2y_2 = -\sum\limits_{i=3}^Ny_i\alpha_i = \varsigma\\ &0\le\alpha_i\le C,\;\;\;i=1,2 \end{aligned} \end{array}$

　　由$(13)$式，$\alpha_1$又能够被$\alpha_2$表达，因而这个子优化就变为一个带约束的一元二次函数最值问题，初中生的题目。主要操做就是先用导数求出二次函数的驻点，若是在约束内就为最终解，在约束外就选约束中与之较近的端点为解。尽管这么简单，可是为了后面的选择，仍是要推导一下。约束能够在二维坐标系中表示出来：

　　由于$y_1,y_2$绝对值为1，因此只要关于它们的符号进行分类。分红两种状况，$y_1\ne y_2$和$y_1=y_2$，因而可取的点分别如上图a、b中斜线所示。设$\alpha_2$取值为$[L,H]$，则当$y_1\ne y_2$时

$L=\max(0,\alpha_2-\alpha_1),H=\min(C,C+\alpha_2-\alpha_1)$

　　你可能会有为何不用$\varsigma$而用$\alpha_2-\alpha_1$来算的疑问。这是由于每次迭代都保持$(13)$的成立，所以直接用$\alpha_2-\alpha_1$方便，而$\varsigma$须要算$N-2$个求和。又由于计算时利用了$(13),(14)$，因此这样算出来的$\alpha_1,\alpha_2$依然能维持$(13),(14)$的成立。当$y_1=y_2$时

$L=\max(0,\alpha_2+\alpha_1-C),H=\min(C,\alpha_2+\alpha_1)$

　　而后就是简单的先替换$\alpha_1$，再求导等于0，整理后获得：

$(K_{11}+K_{22}-2K_{12})\alpha_2^*=(K_{11}+K_{22}-2K_{12})\alpha_2+y_2(E_1-E_2)$

　　其中

\begin{gather} \displaystyle E_i=\left(\sum\limits_{j=1}^N\alpha_iy_iK(x_j,x_i)+b\right)-y_i \label{} \end{gather}

　　$E_i$理解为预测函数对$x_i$的预测值与其真实标签$y_i$之差。再定义

$ \eta = K_{11}+K_{22}-2K_{12}$

　　$\eta$理解为$x_1,x_2$映射到特征空间中的向量之间的距离（距离二范的平方），因而

$\begin{gather}\displaystyle\alpha_2^*=\alpha_2+\frac{y_2(E_1-E_2)}{\eta}\label{}\end{gather}$

 　　而后更新$\alpha_2,\alpha_1$：

$ \alpha_2^{update}= \left\{ \begin{aligned} &H,&\alpha_2^*>H\\ &\alpha_2^*,&L\le\alpha_2^*\le H\\ &L,&\alpha_2^*<L\\ \end{aligned} \right. $

$\alpha_1^{update} = (\varsigma - \alpha_2^{update}y_2)y_1 = \alpha_1+y_1y_2(\alpha_2-\alpha_2^{update})$

　　最后还有$(18)$的$b$的计算，《统计学习方法》对$b$的计算感受没有说清楚。

　　在我理解，这个$b$的更新就是用更新后的$\alpha_1$或$\alpha_2$，看哪一个在$(0,C)$区间，就用KKT条件2式即$(15)$直接计算$b$；若是两个$\alpha$都是0或$C$，则取依然用$(15)$计算两个$b$，取这两个$b$的平均值。

　　个人疑问是：首先，更新完$\alpha_1,\alpha_2$后，$\alpha_1,\alpha_2$是否保证知足$(15),(16)$式呢，也就是没说明能不能用$(15)$来算$b$？其次，假设它们更新完后知足$(15),(16)$式，可是若是$\alpha_1,\alpha_2$都不在$(0,C)$区间为何还能用$(15)$来算$b$呢？最后，书中只说了更新$b$，刚开始的$b$初始化为多少呢？还请懂的大佬不吝赐教。

变量的选择

　　变量的选择就是先遍历全部的$\alpha_i$，查看哪一个$\alpha_i$违反$(17)$最严重，做为待更新的$\alpha_1$；而后再选择使$(19)$中的$|E_1-E_2|$最大的$\alpha_2$，以使$\alpha_2$变化最大。

人脸识别实验

　　接下来使用PCA（点击连接）与SVM实现人脸识别。大体流程以下：

　　0、对人脸数据集预处理。

　　一、将全部训练集人脸存在矩阵中，每行一张人脸照片。

　　二、使用PCA对矩阵行降维，提取特征（用于降维、提取特征的矩阵就是所谓“特征脸”）。

　　三、选择SVM的核函数为高斯核，再选择一组超参数（软间隔权重C、高斯核的方差）来交叉验证。

　　四、用降维后的人脸矩阵交叉验证获得最优超参数。

　　五、用降维人脸矩阵训练使用最优超参数的SVM，获得训练完成的SVM。

　　六、把以相同方式存在矩阵中的测试集人脸，先用前面得到的特征脸降维，再用训练好的SVM测试，统计数据。

　　用于训练与测试的人脸集以下图：

 　　数据预处理代码：

import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np
import pylab 
import os 

img = plt.imread("face.jpg")#人脸图片
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111) 
print(img)   
def split_img(img):
    a = np.zeros([400,56,46,3])     ##57*47
    for i in range(20): 
        for j in range(20):  
            a[i*20+j] = img[i*57:(i+1)*57-1,j*47:(j+1)*47-1]
    return a
def output_img(imgs):
    for i in range(len(imgs)): 
        if not os.path.exists("faces/"+str(int(i/10))):
            os.mkdir("faces/"+str(int(i/10)))
        plt.imsave("faces/"+str(int(i/10))+"/"+str(i%10)+".jpg",imgs[i]) 
b = split_img(img)  
b = b/255
output_img(b)
ax.imshow(b[0])
ax.axis("off")
pylab.show()

　　数据获取（与训练测试代码存在同目录便可，不用执行）：

import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np

def get_train_data():  
    faces_train = np.zeros([40,6,56,46,3]) #56*46
    train_name = np.zeros([40,6]).astype(int)
    
    faces_test = np.zeros([40,4,56,46,3]) #56*46
    test_name = np.zeros([40,4]).astype(int)
    for i in range(40):
        for j in range(6):
            faces_train[i,j] = plt.imread("faces/"+str(i)+"/"+str(j)+".jpg")
            train_name[i,j] = i
    for i in range(40):
        j = 6
        while j<10: 
            faces_test[i,j-6] = plt.imread("faces/"+str(i)+"/"+str(j)+".jpg")
            test_name[i,j-6]=i
            j+=1 
    faces_train = faces_train[:,:,:,:,0].reshape([240,56,46])/255 
    faces_test = faces_test[:,:,:,:,0].reshape([160,56,46])/255  
    train_name = train_name.reshape([240])
    test_name = test_name.reshape([160])

    train_data = {"data":faces_train,"name":train_name} 
    test_data = {"data":faces_test,"name":test_name} 
    print("数据初始化成功！")
    return train_data,test_data

　　模型训练与测试：

#%% 训练模型获取数据
from get_data import *
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import pylab 
from sklearn.decomposition import PCA 
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.pipeline import make_pipeline
import seaborn as sns
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签 
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号

train_data,test_data = get_train_data()  #获取数据图像56*46，训练集240，测试集160

#%%训练模型
#模型选择，加入管道
pca = PCA(n_components = 50,whiten=True) 
svc = SVC(kernel='rbf',class_weight="balanced")     
model = make_pipeline(pca,svc)       

#如下交叉验证选择最优超参数
print("正在交叉验证寻找最优超参数。。。")
from sklearn.model_selection import GridSearchCV
param_grid = {"svc__C":[50,60,70,80],"svc__gamma":[0.0001,0.0005,0.001,0.005]}#定义软间隔权重、高斯核方差
grid = GridSearchCV(model,param_grid,cv = 6)#交叉验证6折，由于每一个人的脸有6张，因此也是留一法
grid.fit(train_data["data"].reshape(240,56*46),train_data["name"])#用训练集交叉验证，选择最优超参数
print("最优参数已找到:")
print(grid.best_params_)
print("用最优超参数训练模型。。。")
model = grid.best_estimator_ #用最优超参数训练模型
model.fit(train_data["data"].reshape(240,56*46),train_data["name"])
#%%测试模型
print("训练完毕，开始测试。。。")
yfit = model.predict(test_data["data"].reshape([160,56*46]))
print("测试完毕，数据统计：")
from sklearn.metrics import classification_report
print(classification_report(test_data["name"],yfit))
print("绘制预测结果图。。。。") 
fig = plt.figure(figsize=(100,100))
for i in range(10):
    for j in range(16):
        ax = fig.add_subplot(10,16,i*16+j+1)
        ax.imshow(test_data["data"][i*16+j],cmap="bone") 
        ax.set(xticks =[],yticks = [])
        ax.set_ylabel(yfit[i*16+j],size = 10)
pylab.show() 

print("绘制混淆矩阵。。。。") 
from sklearn.metrics import confusion_matrix
mat = confusion_matrix(test_data["name"],yfit)
sns.heatmap(mat.T,square= True,annot=True,fmt="d",cbar=False)
plt.xlabel("真实标签")
plt.ylabel("预测标签")
pylab.show()