【刷题】面筋-两颗鸡蛋测临界楼层的问题

题目

• 有一栋楼，共100层。

• 定义：鸡蛋在第n层楼扔下，不会碎，第n+1层扔下，会碎，那么第n层就叫临界楼层（即最高的安全楼层）

• 你手中有两个鸡蛋（默认理想状态：两个鸡蛋彻底相同），如何优化尝试策略，使得使用最少次数，测出临界楼层

• 即，使用此策略，最差也能够在多少次之内测出临界楼层

• （ps:假定鸡蛋必定会在某层楼下落后碎掉）

思路1：暴力法遍历

• 为了避免让鸡蛋碎掉，咱们从一楼开始测试，这样只须要一个鸡蛋，当到达临界楼层的上一层n+1时，鸡蛋碎了，而后咱们能够得出n层是临界楼层，这是最原始的方法，遍历。

• 这种策略最糟糕的状况会是测试到100楼鸡蛋才会碎，测试次数是100次，临界楼层是99楼。

• 最好的状况是测试到2楼鸡蛋就碎了，测试次数是2次，临界楼层是1层。

思路2：二分查找

• 咱们手中有俩鸡蛋，为了充分利用条件，咱们能够利用第一个鸡蛋来缩小范围。

• 先跑到50楼去扔，没碎的话，再去75楼去扔···直到第一个鸡蛋碎掉。

• 若是咱们从50楼扔，没碎，说明50楼如下是安全的，50楼以上还有50楼，那咱们再去上面的50楼的一半——75楼去扔，在75楼碎了，说明临界楼层在50层~74层之间，咱们就利用第二个鸡蛋，遍历51层到74层。这是运用二分法。

• 这种策略最糟糕的状况会是50层鸡蛋就碎了，49层是临界楼层，测试次数是1+49次。

• 最好的状况是1楼是临界楼层，测试次数是1+2次。

思路3：平均分组

• 尝试使每一个鸡蛋的测试任务大体至关，即给100开个平方根，第一个鸡蛋只测试整十楼层，第二个鸡蛋测试两个整十楼层之间的楼层。咱们能够先测10楼，20楼，30楼···，直到第一个鸡蛋碎掉。

• 若是咱们测到30楼，第一个鸡蛋碎了，那咱们就用第二个鸡蛋遍历测试21~29楼。

• 这种策略最糟糕的状况会是99层是临界楼层，测试次数是10+9次。

• 最好的状况是1楼是临界楼层，测试次数是1+2次。

思路4：非平均分组

• 咱们假定存在一种最优策略，最多n次测试就能找到临界楼层。那么，最糟糕的情况会是哪种呢？

• 从上面的分析能够看出，测试次数分为两部分

  • 第一颗鸡蛋的测试次数x，用来缩小范围
  • 第二颗鸡蛋用来在小范围内查找临界楼层y
  • 即x+y=n

• 那么当测试次数固定为n时，每当x增长1，y则减小1

  • 即，每当第一颗鸡蛋测试一次，那么所留给第二颗鸡蛋探查的范围就应该减小1

• 例如：

  • 若是n=10,那么第一次探查了20楼，使用了一次机会，若是碎了，肯定的范围是1~19，那么，第二颗鸡蛋须要使用10-1次机会去探查19层，在最糟糕的情形下显然没法完成。

  • 显然当n=10时，第一次探查为10楼显然更合适，肯定下来的范围是1~9，第二颗鸡蛋使用10-1次探查9层楼，最糟糕的情形下也能知足。

  • 若是探查10楼后鸡蛋没碎，而在第二次探查时碎了呢？咱们第二次探查应该把范围再缩小1，若是第一个鸡蛋多探查一次，那么留给第二颗鸡蛋的探查机会就少一次，咱们要保证在最糟糕的情形下也能探查到，因此留给第二颗鸡蛋的探查范围应该与其探查机会相等。即第一颗鸡蛋的第二次机会应该探查第19层，肯定下来的范围须要探查的范围是11~18，第二颗鸡蛋的剩余探查次数恰好为10-2，匹配成功

  • ·····

  • 根据以上分析，咱们能够发现，每一次的探查范围都减一，即n-1,n-2,n-3,....2,1,0

  • 最后咱们的探查范围会缩小到0

  • 那么咱们把这些探查范围加起来，再加上n就是咱们的探查总范围

• 即n+(n-1)+(n-2)+······+3+2+1+0=100

  • 咱们先假设最坏状况下，鸡蛋下落次数为x，即咱们为了找出N，一共用鸡蛋作了x次的实验。

  • 假设第一次是在第y层楼扔的鸡蛋， 若是第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，咱们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出N， 只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。

  • 因为第一个鸡蛋在第y层就摔破了， 因此最坏的状况是第二个鸡蛋要把第1到第y-1层的楼都测试一遍，最后得出结果， 噢，原来鸡蛋在第y-1层才能摔破(或是在第y-1层仍没摔破，答案就是第y层。) 这样一来测试次数是1+(y-1)=x，即第一次测试要在第x层。

  • OK， 那若是第一次测试鸡蛋没摔破呢，那N确定要比x大，要继续往上找，须要在哪一层扔呢？ 咱们能够模仿前面的操做，若是第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了， 那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下x-2次了(第一个鸡蛋已经用了2次)。 这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着x-2层。

  • 咱们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第x层，第1层到第x层间共x层； 第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有x-1层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)， 同理继续往下，咱们能够得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有x-2层， ……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100

  • 注：算式中的项表示的是第一颗鸡蛋走的层数，所以是从n开始。

• 解恰好为正整数14，即便用此策略最多探查14次便可在100楼中找到临界楼层

• 另外，当探查总范围发生改变时，解的n可能为小数，显然，探查次数只能为整数且n越小探查总范围越小，

• 即n应向上取整

• 我先用第1个鸡蛋在如下序列表示的楼层数不断地向上测试，直到它摔破。 再用第2个鸡蛋从上一个没摔破的序列数的下一层开始，向上测试， 便可保证在最坏状况下也只须要测试14次，就能用2个鸡蛋找出从哪一层开始， 往下扔鸡蛋，鸡蛋就会摔破。

• 14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

  • 好比，我第1个鸡蛋是在第77层摔破的，那么我第2个鸡蛋就从第70层开始，向上测试， 第二个鸡蛋最多只须要测试7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1个鸡蛋测试的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最坏状况只须要测试14次便可得出答案。

代码实现

• 这个问题还有一个泛化的版本，即d层楼，e个鸡蛋，而后设计方案找出N， 使最坏状况下测试的次数最少。这个要用动态规划(DP)来解。

• f[d][e]表示d 层楼，e个鸡蛋时，最坏状况下的测试次数，则：

• f[d][e]=min{max(f[d-i][e]+1，f[i-1][e-1]+1)}，i=1,2,...,d;

• f[k][1]=k，0<=k<=d，f[0][0...e]=0;

• 实现代码以下：

int min_testnumber(int d, int e)  
{  
        int **f=new int *[d+1];  
        int i,j,k;  
        for(i=0;i<=d;i++)  
            f[i]=new int[e+1];  
        for(i=0;i<=d;i++)  
            f[i][1]=i;  
        for(i=0;i<=e;i++)  
            f[0][e]=0;  
        for(i=1;i<=e;i++)  
        {  
            for(j=1;j<=d;j++)  
            {  
                int tmp;  
                int min_test=0x7FFFFFFF;  
                for(k=1;k<=j;k++)  
                {  
                    tmp=f[j-k][i]+1>f[k-1][i-1]+1?f[j-k][i]+1:f[k-1][i-1]+1;  
                    if(tmp>min_test)  
                        min_test=tmp;  
                }  
                f[j][i]=min_test;  
            }  
       }  
       return f[d][e];  
}

扩展

• 若是咱们有三个鸡蛋，有k次机会，咱们最大能够测试多少层楼？

  • 思路同前面同样，第一次测试，不能过高也能过矮，必须恰到好处，也就是第一枚鸡蛋若是破碎，剩余k-1次机会能将剩余楼层给测试完。

  • 由上面结论，k-1次机会最多能够测试k(k-1)/2层楼，因此第一次在k(k-1)/2+1层楼，第一次若是第一枚鸡蛋不碎，第二次在此基础上增长(k-1)(k-2)/2+1层楼，因而，三个鸡蛋k次机会总共测试楼层数为

  • k=9.

• 至于四个鸡蛋，五个鸡蛋，以致于M个鸡蛋，能够以此类推，方法同上。

参考连接

• Google经典烧脑面试题--扔鸡蛋问题思路整理
• 100层楼2个鸡蛋，测试其最低破碎楼层问题

END