如何高效解决接雨水问题

读完本文，你能够去力扣拿下以下题目：

42.接雨水

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接雨水这道题目挺有意思，在面试题中出现频率还挺高的，本文就来步步优化，讲解一下这道题。

先看一下题目：

就是用一个数组表示一个条形图，问你这个条形图最多能接多少水。

int trap(int[] height);

下面就来由浅入深介绍暴力解法 -> 备忘录解法 -> 双指针解法，在 O(N) 时间 O(1) 空间内解决这个问题。

1、核心思路

我第一次看到这个问题，机关用尽，彻底没有思路，相信不少朋友跟我同样。因此对于这种问题，咱们不要想总体，而应该去想局部；就像以前的文章处理字符串问题，不要考虑如何处理整个字符串，而是去思考应该如何处理每个字符。

这么一想，能够发现这道题的思路其实很简单。具体来讲，仅仅对于位置 i，能装下多少水呢？

能装 2 格水。为何刚好是两格水呢？由于 height[i] 的高度为 0，而这里最多能盛 2 格水，2-0=2。

为何位置 i 最多能盛 2 格水呢？由于，位置 i 能达到的水柱高度和其左边的最高柱子、右边的最高柱子有关，咱们分别称这两个柱子高度为 l_max 和 r_max；位置 i 最大的水柱高度就是 min(l_max, r_max)。

更进一步，对于位置 i，可以装的水为：

water[i] = min(
               # 左边最高的柱子
               max(height[0..i]),  
               # 右边最高的柱子
               max(height[i..end]) 
            ) - height[i]

PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，所有发布在 labuladong的算法小抄，持续更新。建议收藏，按照个人文章顺序刷题，掌握各类算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

这就是本问题的核心思路，咱们能够简单写一个暴力算法：

int trap(vector<int>& height) {
    int n = height.size();
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
        int l_max = 0, r_max = 0;
        // 找右边最高的柱子
        for (int j = i; j < n; j++)
            r_max = max(r_max, height[j]);
        // 找左边最高的柱子
        for (int j = i; j >= 0; j--)
            l_max = max(l_max, height[j]);
        // 若是本身就是最高的话，
        // l_max == r_max == height[i]
        ans += min(l_max, r_max) - height[i];
    }
    return ans;
}

有以前的思路，这个解法应该是很直接粗暴的，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。可是很明显这种计算 r_max 和 l_max 的方式很是笨拙，通常的优化方法就是备忘录。

2、备忘录优化

以前的暴力解法，不是在每一个位置 i 都要计算 r_max 和 l_max 吗？咱们直接把结果都缓存下来，别傻不拉几的每次都遍历，这时间复杂度不就降下来了嘛。

咱们开两个数组 r_max 和 l_max 充当备忘录，l_max[i] 表示位置 i 左边最高的柱子高度，r_max[i] 表示位置 i 右边最高的柱子高度。预先把这两个数组计算好，避免重复计算：

int trap(vector<int>& height) {
    if (height.empty()) return 0;
    int n = height.size();
    int ans = 0;
    // 数组充当备忘录
    vector<int> l_max(n), r_max(n);
    // 初始化 base case
    l_max[0] = height[0];
    r_max[n - 1] = height[n - 1];
    // 从左向右计算 l_max
    for (int i = 1; i < n; i++)
        l_max[i] = max(height[i], l_max[i - 1]);
    // 从右向左计算 r_max
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) 
        r_max[i] = max(height[i], r_max[i + 1]);
    // 计算答案
    for (int i = 1; i < n - 1; i++) 
        ans += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
    return ans;
}

这个优化其实和暴力解法差很少，就是避免了重复计算，把时间复杂度下降为 O(N)，已是最优了，可是空间复杂度是 O(N)。下面来看一个精妙一些的解法，可以把空间复杂度下降到 O(1)。

3、双指针解法

这种解法的思路是彻底相同的，但在实现手法上很是巧妙，咱们此次也不要用备忘录提早计算了，而是用双指针边走边算，节省下空间复杂度。

首先，看一部分代码：

int trap(vector<int>& height) {
    int n = height.size();
    int left = 0, right = n - 1;
    
    int l_max = height[0];
    int r_max = height[n - 1];
    
    while (left <= right) {
        l_max = max(l_max, height[left]);
        r_max = max(r_max, height[right]);
        left++; right--;
    }
}

对于这部分代码，请问 l_max 和 r_max 分别表示什么意义呢？

很容易理解，l_max 是 height[0..left] 中最高柱子的高度，r_max 是 height[right..end] 的最高柱子的高度。

PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，所有发布在 labuladong的算法小抄，持续更新。建议收藏，按照个人文章顺序刷题，掌握各类算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

明白了这一点，直接看解法：

int trap(vector<int>& height) {
    if (height.empty()) return 0;
    int n = height.size();
    int left = 0, right = n - 1;
    int ans = 0;
    
    int l_max = height[0];
    int r_max = height[n - 1];
    
    while (left <= right) {
        l_max = max(l_max, height[left]);
        r_max = max(r_max, height[right]);
        
        // ans += min(l_max, r_max) - height[i]
        if (l_max < r_max) {
            ans += l_max - height[left];
            left++; 
        } else {
            ans += r_max - height[right];
            right--;
        }
    }
    return ans;
}

你看，其中的核心思想和以前如出一辙，换汤不换药。可是细心的读者可能会发现次解法仍是有点细节差别：

以前的备忘录解法，l_max[i] 和 r_max[i] 表明的是 height[0..i] 和 height[i..end] 的最高柱子高度。

ans += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];

可是双指针解法中，l_max 和 r_max 表明的是 height[0..left] 和 height[right..end] 的最高柱子高度。好比这段代码：

if (l_max < r_max) {
    ans += l_max - height[left];
    left++; 
}

此时的 l_max 是 left 指针左边的最高柱子，可是 r_max 并不必定是 left 指针右边最高的柱子，这真的能够获得正确答案吗？

其实这个问题要这么思考，咱们只在意 min(l_max, r_max)。对于上图的状况，咱们已经知道 l_max < r_max 了，至于这个 r_max 是否是右边最大的，不重要，重要的是 height[i] 可以装的水只和 l_max 有关。

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