数论学习笔记(一)

近期学了一下简单数论，整理一下。

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1、算数基本定理:

1.定义： 一个大于1的正整数$N$, 标准分解式 $$N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}···p_n^{a_n}$$

2.性质：

• 正因数个数 $$d(N)=(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)$$

• 正因数和 $$\sigma(N)=(1+p1+p1^2+...+p1^{a1})(a+p2+...+p2^{a2})...(1+pn+pn^2+pn^{an})$$

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2、欧拉函数：

1. 定义：$\varphi(x)$表示小于x的数中有多少个数与x互质

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2. 通式： $$\varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}({1-\frac{1}{p_i}})\text{(p表示x的质因数)}$$

如何理解?

首先举个栗子：$12=2^2·3 \quad \varphi(12)=12·(1-\frac{1}{2})·(1-\frac{1}{3})$

用容斥的思想：12里有$\frac{1}{2}$的数是2的倍数，也有$1-\frac{1}{2}$的数不是2的倍数。(1,3,5,7,9,11)

那么这6个数中，又有$\frac{1}{3}$的数是3的倍数。

因此，有$(1-\frac{1}{2})·(1-\frac{1}{3})$的数既不2的倍数，也不是3的倍数。

这样一来，通式也就好理解了！

x中有$(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_n})$个数知足$p_1...p_n$均不是其因子，即与x互质。

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3.性质：

① 对质数p，$\varphi(p)=p-1$

$$\text{p是质数，因此1...p-1都与p互质。}$$

② 若n惟一分解$;n=p^k$，那么

$$\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p})=p^k(1-\frac{1}{p})=p^k-p^{k-1}$$

③ 欧拉函数是积性函数，若$a,b$互质，

$$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$$

n为质数时，

$$\varphi(2n)=\varphi(2)\varphi(n)=\varphi(n)$$

④ 欧拉定理：对于互质整数$a,m$，有

$$a^{\varphi(m)}\equiv1(mod;m)$$

费马小定理：对质数$p$，

$$a^p=1(mod;p)$$

⑤ 小于n的数中，与n互质的数的总和为：

$$\varphi(n)*n/2(n>1)$$

⑥ $$\mathbf{n=\sum_{d|n}\varphi(d)}$$

由于是一条很是重要的性质，因此我本身想法子证实了一波：

$\text{令}f(n)=\sum_{d|n}^{}\varphi(d)$

$\text{则}f(p_i^{k})=\varphi(1)+\varphi(p_i)+\varphi(p_i^{2})+\varphi(p_i^{3})+...+\varphi(p_i^{k})$

$\quad \quad\quad ;;;=1+(p_i-1)+(p_i^{2}-p_i)+(p_i^{3}-p_i^{2})+...+(p_i^{k}-p_i^{k-1})$

$\quad \quad\quad ;;;=p_i^{k}$

设$n=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}p_3^{e_3}...*p_k^{e_k}$

∴ $\sum_{d|n}\varphi(d)=f(n)$

$\quad\quad\quad\quad\quad;=f(p_1^{e_1}*p_2^{e_2}p_3^{e_3}...*p_k^{e_k})$

$\quad\quad\quad\quad\quad;=f(p_1^{e_1})*f(p_2^{e_2})f(p_3^{e_3})...*f(p_k^{e_k})$

$\quad\quad\quad\quad\quad;=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}p_3^{e_3}...*p_k^{e_k}$

$\quad\quad\quad\quad\quad; =n$

证毕。

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再放一下大佬的证实：

考虑1...n的全部整数，若$gcd(i,n)=d$，即$gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1$

又 $\frac{i}{d}$ 是不超过 $\frac{n}{d}$ 的整数。

∴ 这样的 $i$ 有 $\varphi(\frac{n}{d})$ 个

∵ $d|n$，咱们也就考虑到了全部的d。

即：${n= \sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})}=\sum_{d|n}{\varphi(d)}$

⑦ 若p是质数

$$\begin{cases}\varphi(ip)=p\varphi(i)\quad(i;mod;p;=0)\\varphi(ip)=p-1\varphi(i)\quad(otherwise)\end{cases}$$

第二个式子很好理解，p是质数，i不是p的倍数，即i与p互质。

第一个式子,根据通式可得：

$$\varphi(ip)=pi*\prod_{i∈S_{i*p}}{\frac{p_i-1}{p_i}}\text{(S表示n的质因子集合)}$$

由于$p$是$i$的质因子，因此$S_i=S_{i*p}$。

因此

$$i*\prod_{i∈S_{ip}}{\frac{p_i-1}{p_i}} = i\prod_{i∈S_{i}}{\frac{p_i-1}{p_i}} = \varphi(i)$$

$$\varphi(ip)=p\varphi(i)$$

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4. 求欧拉函数

• 单个求： 直接根据定义在$\sqrt{x}$范围枚举x的质因子便可。复杂度$O(\sqrt{n})$

inline int phi(int x)
{
	int ret=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0) ret=ret/i*(i-1);
		while(x%i==0) x/=i;
	}
	if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}

• 筛法求：

由于积性函数$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\quad (a \perp b )$

欧拉筛中每次筛$i*prime[j]$，因此咱们能够在欧拉筛中线性求积性函数。

关于$phi[i*prime[j]]$的值，见性质中最后一条。

inline void Pre()
{
	notpr[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!notpr[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
		{
			notpr[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
}

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既然理论知识已经基本了解了，咱们来搞几道题。

1、P2303 [SDOi2012]Longge的问题

简单的推一波式子：

$\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)$

$=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n([gcd(i,n)=d]·d)$

$=\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]$

$=\sum_{d|n}d·\varphi(\frac{n}{d})$

而后单个求欧拉函数就行了，注意枚举到$\sqrt{n}$便可。

code:

int main()
{
	cin>>n;
	for(ll i=1;i*i<=n;i++)
	{
		if(i*i==n){ans+=i*phi(i);break;}
		if(n%i==0) ans+=i*phi(n/i)+(n/i)*phi(i);
	}
	cout<<ans;
}

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2、P2158 [SDOI2008]仪仗队

首先咱们把左下角的点看作(0,0)点。

咱们要求的也就是有多少条过(0,0)点的不重合的形如$y=kx$的直线。

也就是求有多少个不一样的k值。

设$P(x,y),\quad k=\frac{y}{x}$

首先k值不一样当且仅当(x,y)互质。

又不一样的互质数相除得数确定不一样。

因此咱们要求的就是n范围内有多少对(x,y)互质。

即$\sum_{x=1}^{n-1}\sum_{y=1}^{x-1}[gcd(x,y)=1]$

$=\sum_{x=1}^{n-1}\varphi(x)$

$\varphi(n)$表示小于n的数里与n互质的数，也就是说咱们只求了x>y的状况，须要再把结果*2。

而后注意一下(1,0),(0,1),(1,1)这三个点的特判。

int main()
{
	read(n);Pre();
	if(n==1){puts("0");return 0;}
	for(int i=2;i<n;i++) ans+=phi[i]*2;
	W(ans+1);
}

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3、P1447 [NOI2010]能量采集

给你一个n·m的方阵,问每一个点与原点的连线中有多少点(不包括横纵坐标为0的)*2+1再求和,

$\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}gcd(x,y)*2-1$

$2*(\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}gcd(x,y))-n*m$

咱们只考虑一下中间那个东西：

$;;;\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}gcd(x,y)$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$

$=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)·(n/d)·(m/d)$

求一下phi的前缀和而后套数论分块就行了。

4、P2568 GCD

5、P2398 GCD SUM