专题——极值定理及应用

此次为你们带来数论中一个比较简单可是很重要的专题。

极值定理：

<1>极大极小值定理：

　　极大值：若是N个正数的和X₁+X₂+X₃+…+X_N=S(定值)，那么当X₁=X₂=X₃=…X_N时，乘积Z₁Z₂Z₃…Z_N有最大值：(S/N)^N。

　　极小值：若是N个正数的积X₁X₂X₃…X_N=K(定值)，那么当X₁=X₂=X₃=…X_N时，和X₁+X₂+X₃+…+X_N有最小值：。

<2>最小数原理：

　　假设M是天然数集的一个非空子集，则M中必定有一个最小数。按照某种标准，经过排序处理最小数问题的方法称为“最优策略”。

 

应用举例：

例1：求最小值——极小值定理

题目描述 Description

　　求1/x+x²在x>0时的最小值。

思路：

　　根据极小值原理，原式=1/2x+1/2x+x²，这样就变成了3个正数相加的状况，如今要求极小值，那么咱们看看这三个数相乘的结果，(1/2x)×(1/2x)×x²=1/4是一个定值，彻底符合极小值定理应用规则，当1/2x=x²时，即x=，有最小值。

例2：容积最大——极大值定理

题目描述 Description

　　有一块边长为A的正方形铁片，要在四角各减去一个一样大小的正方形作无盖盒子，问如何裁剪可以使其盒子的容积最大？

思路：

　　设体积为V，减去的小正方形边长为X，那么：V=X×(A-2X)²=1/4×4X×(A-2X)²。

　　由于4X+(A-2X)+(A-2X)=2A为一个定值，就符合极大值原理，当A-2X=4X时，容积V最大，X=A/6。

例3：乘积最大——极大值定理

题目描述 Description

　　将正整数n分红k部分(k≤n)，要求乘积最大最小。

思路：

　　这题就是经典的极大极小值定理综合应用，方法在这，套路不变，仍是同样的解法。

　　对于极大值：咱们能够把用k整除n，这样就把n平均分红k部分，而且尽量的保证了X₁+X₂+X₃+…+X_N=S(定值)，可是，若是有余数怎么办？这样很简单，咱们能够把余数平均地从头至尾放到前面分解出来的每一个因子里面，如18/4，因子为：四、四、四、4，余数为22，把2平均分红两份放到前面两个4中，变成五、五、四、4，这样乘积就最大了。还有一个问题，为何不能把余数2直接放到四、四、四、4的后面变为四、四、四、四、2呢？这也很简单，把较大因子变大相乘永远比把加数放到后面相乘来得大，这个能够用数学来推导，在这里我就不细说了。

　　对于极小值：只要将n分为k-1个1和一个n-k+1便可，由于要使乘积尽可能最小，要尽量的使得乘积最小值不变，分解为1的缘由是由于1和任何数相乘都不变。

例4：最大值——极大值定理

题目描述 Description

　　设正整数m，n，1≤m，n≤1996，且(n²-nm-m²)²=1，求n²+m²的最大值。

思路：

　　根据(n²-nm-m²)²=1两边开方能够得出n²-mn-m²+1=0①和n²-mn-m²-1=0②，根据求根公式，式子①的根n₁n₂为：n₁或n₂=(m+△₁或△₂)/2，式子②的根n₃n₄为：n₃或n₄=(m,-△₁或△₂)/2，其中△₁=，△₂=，因为n＞1,所以排除了n₃和n₄存在的可能性,即n=n₁=(m+△₁)/2或者n=n₂=(m+△₂)/2，又因为n和m是整数,所以△₁和△₂应为整数.一样,(m+△₁)/2 和 (m+△₂)/2也应为整数，因为m²+n²单调递增,所以咱们从m=k出发,按递减方向将m值代入n的求根公式.只要△₁（或△₂）为整数,n₁或n₂为整数且小于k,则得出的一组m和n必定使m²+n²的值最大。

　　根据以上结论，若m=1，n=1，则m，n知足方程。

　　令u₁=1，u₂=1，(u₂²-u₂u₁-u₁²)²=1，令u₃=2，(u₃²-u₃u₂-u₂²)²=1…令u_k=u_k-1+u_k-2，代入方程可得(u_k²-u_ku_k-1-u_k-1²)²=1。

　　按照这样就能够获得一个序列{u₁u₂,…,u_k,…}且u₁=1，代入数据，就能够看出序列为：{1,1,2,3,5,8,13,21,…,987,1597},就是斐波那契数列中不超过1996的数列，当n取987，m取1597就能够获得最大值：987²+1597²=3524578