【NOIP2013模拟11.7A组】迷宫花坛

【NOIP2013模拟11.7A组】迷宫花坛

题目

圣玛格丽特学园的一角有一个巨大、如迷宫般的花坛。大约有一个人这么高的大型花坛，做成迷宫的形状，深受中世纪贵族的喜爱。维多利加的小屋就坐落在这迷宫花坛的深处。某一天早晨，久城同学要穿过这巨大的迷宫花坛，去探望感冒的维多利加。
整个迷宫可以用N个路口与M条连接两个不同路口的无向通道来描述。路口被标号为1到N，每条通道有各自的长度。整个迷宫一定是连通的，迷宫中可能存在若干个环路，但是，出于美观考虑，每个路口最多只会属于一个简单环路。例如，图1所示的迷宫是非常美观的，但图2则不符合我们的描述，因为3号路口同属于两个简单环。
你需要回答多个这样的询问：假如久城处在路口x，维多利加的小屋处在路口y，久城最短需要走多少距离才能到达小屋？

Input

第一行2个整数N,M，表示迷宫花坛的路口数和通道数；
接下来N行，每行3个整数x,y,z，描述一条连接路口x与路口y，长度为z的通道；
再接下来1行包含一个整数Q，表示询问数量；
之后Q行，每行2个整数x,y，描述一个询问。

Output

对于每个询问输出一行一个整数，表示最短距离。

Sample Input

4 4
1 2 1
2 3 2
1 3 2
3 4 1
2
2 4
1 3

Sample Output

3
2

Data Constraint

对于30%的数据，N≤100；
另有30%的数据，保证N=M；
对于100%的数据，1≤N≤100,000，Q≤200,000，1≤x,y≤N，1≤z≤1000.

解题思路

首先规定以DFS到的第一个在此环上的点视为父亲。
设 $val_{i}$vali​表示第 $i$i个点向左或向右到父亲的距离（注意：同一环中，点到父亲的距离的方向是相同的，例如：
这里的 $val$val依次为 $[0,1,3,0]$[0,1,3,0]或 $[0,4,2,0]$[0,4,2,0]）
然后我们将每个环变成一个菊花图，，其余点连向父亲，边权为这个点到父亲的最短路，将其命名为 $Dis$Dis
最后，在已经变好的图树上做lca，最后我们向上跳到的两个点（点 $tx$tx和点 $ty$ty），设 $ans$ans为跳到点 $tx$tx和点 $ty$ty的路径和，两点就会有两种情况：1.两个点在原图中不在同一个环，处理情况和普通的lca一样；2.两个点在原图中在同一个环，那么之前定义的 $Dis$Dis和 $val$val就排上用场了。
怎么用呢？？？
看一看答案有什么情况：
一共有三种情况：1.答案路径不经过父亲且点 $ty$ty到父亲的最短路（即 $Dis$Dis）不经过点 $tx$tx，很容易发现答案路径的长度为 $ans+\left | val_{tx}-val_{ty} \right |$ans+∣valtx​−valty​∣；2.答案路径经过父亲且点 $tx$tx和 $ty$ty到父亲的最短路都不经过对方，那么答案路径的长度为 $ans+Dis_{tx}+Dis_{ty}$ans+Distx​+Disty​；3.答案路径不经过父亲且点 $ty$ty到父亲的最短路经过点 $tx$tx，则答案路径的长度为 $ans+\left | val_{tx}-val_{ty} \right |$ans+∣valtx​−valty​∣。之后我们发现答案路径的长度总是优于另外一条路（这个的原因自己推导一下就能发现了）
综上所述，我们的两点 $tx$tx和 $ty$ty在情况2中答案为 $ans+Min(\left | val_{tx}-val_{ty} \right |,Dis_{tx}+Dis_{ty})$ans+Min(∣valtx​−valty​∣,Distx​+Disty​)。
就此，此题就轻松切掉啦！！！

Code

写得太丑了……还是不贴了吧。