图的应用——最短路径

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最短路径

• 典型用途：交通问题。如：城市A到城市B有多条线路，但每条线路的交通费（或所需时间）不一样，那么，如何选择一条线路，使总费用（或总时间）最少？
• 问题抽象：在带权有向图中A点（源点）到达B点（终点）的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。

最短路径与最小生成树不一样，路径上不必定包含n个顶点

两种常见最短路径问题

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Dijkstra（迪杰斯特拉）算法 —— 单源最短路径

算法思想

把图中顶点集合分红两组：

第一组为已求出其最短路径的顶点集合S 第二组为还没有肯定最短路径的顶点集合U

1. 初始时，S只包含源点，S={v}，U包含除v外的其余顶点；
2. 从U中选取一个距离最小的顶点k，把k加入到S中；
3. 以k做为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；
4. 重复步骤 二、3 直到全部顶点都包含在S中

算法实现

算法流程图 C++代码实现

void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0){
	// 用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其他顶点的最短路径 
	n = G.vexnum;  // G 中顶点个数
	for(v = 0; v < n; v++){
		// n 个顶点依次初始化
		S[v] = false;  // S 初始为空集
		D[v] = G.arcs[v0][v];  // 将v0到各个终点的最短路径长度初始化 
		if(D[v] < MaxInt) Path[v] = v0;  // v0和v之间有弧，将v的前驱置为v0
		else Path[v] = -1;  // 若是v0和v之间无弧，则将v的前驱置为-1
	}
	S[v0] = true;  // 将v0加入S
	D[v0] = 0;  // 源点到源点的距离为0

	/*―开始主循环，每次求得v0到某个顶点v的最短路径，将v加到S集―*/
	for(i = 1; i < n; i++){
		// 对其他n-1个顶点，依次进行计算
		min = MaxInt;
		for(w = 0; w < n; w++)
			if(!S[w] && (D[w] < min)){
				v = w;
				min = D[w];  // 选择一条当前的最短路径，终点为v
			}
		S[v] = true;  // 将v加入S
		for(w = 0; w < n; w++)  // 更新从v0出发到集合V−S上全部顶点的最短路径长度
			if(!S[w] && ((D[v] + G.arcs[v][w]) < D[w])){
				D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];  // 更新D[w]
				Path[w] = v;  // 更新w的前驱为v
			}
	}
}
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Floyd（弗洛伊德）算法 —— 全部顶点间的最短路径

每一对顶点之间的最短路径

方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次—— T(n)=O(n³) 方法二：弗洛伊德(Floyd)算法 算法思想：逐个顶点试探法

算法思想

• 初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；不然为∞
• 逐步试着在原直接路径中增长中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；不然，维持原值。
• 全部顶点试探完毕，算法结结束

算法实现

typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX]
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]

/*- Floyd算法，求网图G中各顶点v到其他顶点w最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w] -*/
void ShrotestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx* P, ShortPathTable* D){
	int v, w, k;
	for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v){
		// 初始化D与P
		for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w){
			(*D)[v][w] = G.matirx[v][w];  // D[v][w]值即为对应点间的权值
			(*P)[v][w] = w;  // 初始化P

		}
	}

	for(k = 0; k < G.numVertexes; ++k)
		for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v)
			for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w)
				if((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){
					// 若是通过下标为k顶点路径比原两点间路径更短
					// 将当前两点间权值设为更小的一个
					(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];
					(*P)[v][w] = (*P)[v][k];  // 路径设置为通过下标为k的顶点
				}
}
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