司机乘客匹配中的距离和最小问题

这个是在工做中遇到的一个实际的算法问题，问题描述以下，当前有m个司机，n个乘客，每一个司机和每一个乘客的距离由经纬度能够计算获得，如何匹配可使其去接乘客的距离和最小？（只能一个司机接一个乘客）

带权二分图方法
通常对KM算法的描述，基本上能够归纳成如下几个步骤：

（1） 初始化可行标杆
（2） 用匈牙利算法寻找完备匹配
（3） 若未找到完备匹配则修改可行标杆
（4） 重复（2）（3）直到找到相等子图的完备匹配

关于该算法的流程及实施，网上有不少介绍，基本上都是围绕可行标杆如何修改而进行的讨论，至于原理并无给出深刻的探讨。

KM算法是用于寻找带权二分图最佳匹配的算法。

二分图是这样一种图：全部顶点能够分红两个集：X和Y，其中X和Y中的任意两个在同一个集中的点都不相连，而来自X集的顶点与来自Y集的顶点有连线。当这些连线被赋于必定的权重时，这样的二分图即是带权二分图。

二分图匹配是指求出一组边，其中的顶点分别在两个集合中，且任意两条边都没有相同的顶点，这组边叫作二分图的匹配，而所能获得的最大的边的个数，叫作二分图的最大匹配。

咱们也能够换个角度看二分图的最大匹配，即二分图的每条边的默认权重为1，咱们求到的二分图的最大匹配的权重最大。对于带权二分图，其边有大于0的权重，找到一组匹配，使其权重最大，即为带权二分图的最佳匹配。

匈牙利算法通常用于寻找二分图的最大匹配。算法根据必定的规则选择二分图的边加入匹配子图中，其基本模式为：

初始化匹配子图为空
While 找获得增广路径
Do 把增广路径添加到匹配子图中

增广路径有以下特性：

1. 有奇数条边
2. 起点在二分图的X边，终点在二分图的Y边
3. 路径上的点必定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。
4. 整条路径上没有重复的点
5. 起点和终点都是目前尚未配对的点，其余的点都已经出如今匹配子图中
6. 路径上的全部第奇数条边都是目前尚未进入目前的匹配子图的边，而全部第偶数条边都已经进入目前的匹配子图。奇数边比偶数边多一条边
7. 因而当咱们把全部第奇数条边都加到匹配子图并把条偶数条边都删除，匹配数增长了1.

例以下图，蓝色的是当前的匹配子图，目前只有边x0y0，而后经过x1找到了增广路径：x1y0->y0x0->x0y2

其中第奇数第边x1y0和x0y2不在当前的匹配子图中，而第偶数条边x0y0在匹配子图中，经过添加x1y0和x0y2到匹配子图并删除x0y0，使得匹配数由1增长到了2。每找到一条增广路径，经过添加删除边，咱们老是能使匹配数加1.

增广路径有两种寻径方法，一个是深搜，一个是宽搜。例如从x2出发寻找增广路径，若是是深搜，x2找到y0匹配，但发现y0已经被x1匹配了，因而就深刻到x1，去为x1找新的匹配节点，结果发现x1没有其余的匹配节点，因而匹配失败，x2接着找y1，发现y1能够匹配，因而就找到了新的增广路径。若是是宽搜，x1找到y0节点的时候，因为不能立刻获得一个合法的匹配，因而将它作为候选项放入队列中，并接着找y1，因为y1已经匹配，因而匹配成功返回了。相对来讲，深搜要容易理解些，其栈能够由递归过程来维护，而宽搜则须要本身维护一个队列，并对一路过来的路线本身作标记，实现起来比较麻烦。

对于带权重的二分图来讲，咱们能够把它当作一个全部X集合的顶点到全部Y集合的顶点均有边的二分图（把原来没有的边添加入二分图，权重为0便可），也就是说它一定存在完备匹配（即其匹配数为min(|X|,|Y|)）。为了使权重达到最大，咱们其实是经过贪心算法来选边，造成一个新的二分图（咱们下面叫它二分子图好了），并在该二分图的基础上寻找最大匹配，当该最大匹配为完备匹配时，咱们能够肯定该匹配为最佳匹配。（在这里咱们如此定义最大匹配：匹配边数最多的匹配和最佳匹配：匹配边的权重和最大的匹配。）

贪心算法老是将最优的边优先加入二分子图，该最优的边将对当前的匹配子图带来最大的贡献，贡献的衡量是经过标杆来实现的。下面咱们将经过一个实例来解释这个过程。

有带权二分图：
算法把权重转换成标杆，X集跟Y集的每一个顶点各有一个标杆值，初始状况下权重所有放在X集上。因为每一个顶点都将至少会有一个匹配点，贪心算法必然优先选择该顶点上权重最大的边（最理想的状况下，这些边正好没有交点，因而咱们天然获得了最佳匹配）。最初的二分子图为：（能够看到初始化时X标杆为该顶点上的最大权重，而Y标杆为0）
从X0找增广路径，找到X0Y4；从X1找不到增广路径，也就是说，必须往二分子图里边添加新的边，使得X1能找到它的匹配，同时使权重总和添加最大。因为X1通往Y4而Y4已经被X0匹配，因此有两种可能，一个是为X0找一个新的匹配点并把Y4让给X1，或者是为X1找一个新的匹配点，如今咱们将要看到标杆的做用了。根据传统的算法描述，可以进入二分子图的边的条件为L(x)+L(y)>=weight(xy)。当找不到增广路径时，对于搜索过的路径上的XY点，设该路径上的X顶点集为S，Y顶点集为T，对全部在S中的点xi及不在T中的点yj，计算d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}，从S集中的X标杆中减去d，并将其加入到T集中的Y的标杆中，因为S集中的X标杆减小了，而不在T中的Y标杆不变，至关于这两个集合中的L(x)+L(y)变小了，也就是，有新的边能够加入二分子图了。从贪心选边的角度看，咱们能够为X0选择新的边而抛弃原先的二分子图中的匹配边，也能够为X1选择新的边而抛弃原先的二分子图中的匹配边，由于咱们不能同时选择X0Y4和X1Y4，由于这是一个不合法匹配，这个时候，d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}的意义就在于，咱们选择一条新的边，这条边将被加入匹配子图中使得匹配合法，选择这条边造成的匹配子图，将比原先的匹配子图加上这条非法边组成的非法匹配子图的权重和（若是它是合法的，它将是最大的）小最少，即权重最大了。好绕口的。用数学的方式表达，设原先的不合法匹配（它的权重最大，由于咱们老是从权重最大的边找起的）的权重为W，新的合法匹配为W’，d为min{W-W’i}。在这个例子中，S={X0, X1}，Y={Y4}，求出最小值d=L(X1)+L(Y0)-weight(X1Y0)=2，获得新的二分子图：
从新为X1寻找增广路径，找到X1Y0，能够看到新的匹配子图的权重为9+6=15，比原先的不合法的匹配的权重9+8=17正好少d=2。
接下来从X2出发找不到增广路径，其走过的路径如蓝色的路线所示。造成的非法匹配子图：X0Y4，X1Y0及X2Y0的权重和为22。在这条路径上，只要为S={X0，X1，X2}中的任意一个顶点找到新的匹配，就能够解决这个问题，因而又开始求d。
d=L(X0)+L(Y2)-weight(X0Y2)=L(X2)+L(Y1)-weight(X2Y1)=1.
新的二分子图为：
从新为X2寻找增广路径，若是咱们使用的是深搜，会获得路径：X2Y0->Y0X1->X1Y4->Y4X0->X0Y2，即奇数条边而删除偶数条边，新的匹配子图中由这几个顶点获得的新的权重为21；若是使用的是宽搜，会获得路径X2Y1，另上原先的两条匹配边，权重为21。假设咱们使用的是宽搜，获得的新的匹配子图为：

接下来依次类推，直到为X4找到一个匹配点。

KM算法的最大特色在于利用标杆和权重来生成一个二分子图，在该二分子图上面找最大匹配，并且，当些仅当找到完备匹配，才能获得最佳匹配。标杆和权重的做用在于限制新边的加入，使得加入的新边老是能为子图添加匹配数，同时又令权重和获得最大的提升。

#include <cstdio>  
#include <string.h>  
#include <vector>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
int const MAX = 1000;  
int const inf = 0x3fffffff;  
int w[MAX][MAX];  
int link[MAX];//表明当前与Y集合中配对的X集合中的点  
int visx[MAX], visy[MAX];  
int lx[MAX], ly[MAX];  
int n, m;//表明X和Y中元素的个数  

int can(int t)  
{  
    visx[t] = 1;  
    for(int i = 1; i <= m; i++){  
        if(!visy[i] && lx[t] + ly[i] == w[t][i]){//这里“lx[t]+ly[i]==w[t][i]”决定了这是在相等子图中找增广路的前提，很是重要  
            visy[i] = 1;  
            if(link[i] == -1 || can(link[i])){  
                link[i] = t;  
                return 1;  
            }  
        }  
    }  
    return 0;  
}  

int km()  
{  
    int sum = 0;  
    memset(ly, 0, sizeof(ly));  
    for(int i = 1; i <= n; i++){//把各个lx的值都设为当前w[i][j]的最大值  
        lx[i] = -inf;  
        for(int j = 1; j <= n; j++){  
            if(lx[i] < w[i][j])  
                lx[i] = w[i][j];  
        }  
    }  
    memset(link, -1, sizeof(link));  
    for(int i = 1; i <= n; i++){  
        while(1){  
            memset(visx, 0, sizeof(visx));  
            memset(visy, 0, sizeof(visy));  
            if(can(i))//若是它可以造成一条增广路径，那么就break  
                break;  
            int d = inf;//不然，后面应该加入新的边,这里应该先计算d值  
            for(int j = 1; j <= n; j++)//对于搜索过的路径上的XY点，设该路径上的X顶点集为S，Y顶点集为T，对全部在S中的点xi及不在T中的点yj  
                if(visx[j])  
                    for(int k = 1; k <= m; k++)  
                       if(!visy[k])  
                            d = min(d, lx[j] + ly[k] - w[j][k]);  
            if(d == inf)  
            return -1;//找不到能够加入的边，返回失败（即找不到完美匹配）  
            for (int j = 1; j <= n; j++)  
                if (visx[j])  
                    lx[j] -= d;  
            for(int j = 1; j <= m; j++)  
                if(visy[j])  
                    ly[j] += d;  
        }  
    }  
    for(int i = 1; i <= m; i++)  
        if(link[i] > -1)  
            sum += w[link[i]][i];  
    return sum;  
}

这个地方注意 咱们是求最小值 只须要把上面的换个符号便可 上面的算法是求最大值