多项式&生成函数（~~乱讲~~）

多项式

多项式乘法

FFT，NTT，MTT不是前置知识吗？随便学一下就行了（虽然我到如今仍是不会MTT，exlucas也不会用） FTT总结 NTT总结

泰勒展开

若是一个多项式$f(x)$在$x0$时存在n阶导（就是能够求导$n$次），那么能够换成下面这样的一个式子： $\begin{aligned}f(x)&=f(x0)+\frac{f^1(x0)}{1!}(x-x0)+\frac{f^2(x0)}{2!}(x-x0)^2+...+\frac{f^n(x0)}{n!}(x-x0)^n+\xi\&=\sum_{i=0}^n \frac{f^i(x0)}{i!}(x-x0)^i+\xi\end{aligned}$ 实在是不想写MathJax了，蒯一波yyb的

反正余项$\xi$趋近于无穷小(由于$n$趋近于无穷大),而后就能够忽略了.

而后若是$x0=0$的时候就能够直接搞了。

最多见的就是$e^x$,由于这个东西是能够无限求导的.

套到以前的式子里面就是:

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

牛顿迭代

不会证实，背背公式就行了。 $B_{t+1}(x)=B_t(x)-\frac{F(B_t(x))}{F'(B_t(x))}$

多项式求逆

随便推一下就能够了。 就是考虑$A$为原来的，$B$为逆数组； 这个东西能够套到牛顿迭代的式子里面去，而后就没了。

多项式的其余操做

挖坑待补（通常性都不要用）

生成函数

普通型生成函数(OGF)

给出一个数列$a_0,a_1,a_2,...$

它的OGF就是 $$ F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+... \ =\sum_{i=0}^{\infty}a_i*x^i $$

指数型生成函数(EGF)

给出一个数列$a_0,a_1,a_2,...$

它的EGF就是 $$ F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{i!}*x^i $$

OGF拓展

咱们发现若是把斐波那契数列弄成一个生成函数的话,很显然就是:

$F(x)=0+1x+1x^2+2x^3+3x^4+...$

而后咱们同时乘一下$x$

$F'(x)=0+1x^2+1x^3+2*x^4+...$

而后裂项一下就是:

$F(x)-F'(x)=0+1x+0+1x^3+1x^4+2x^5$

而后这样子就变成了:

$x+x^2(0+1x+1x^2+...)$

也就是说:$F(x)-F'(x)=x+F(x)*x^2$

发现这是一个好东西:

$F(x)-x*F(x)=x+F(x)*x^2$

而后移一下项就是:

$F(x)*(x^2+x-1)*F(x)=-x$

发现咱们要求的是$F(x)$,就能够写成:

$F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$

这个东西求的话仍是线性的,考虑接着化简

最后就是这么一个烂玩意:

$fib_n = -\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n + \frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n$

OGF和EGF的区别

咱们发现EGF的公式多除了一个阶乘,也就意味分子多乘了一个阶乘,那么阶乘在排列组合下的意义是什么?

顺序,因此EGF和OGF的应用也就出来了:

• OGF表示的是组合意义.
• EGF用于求排列下的一些东西

引例:

1.如今有A,B两种物品,A中的物品只可以取奇数个,B中的只能取3的倍数个,求取n个有多少种方法(忽略取出的顺序)

考虑讲这两个写出来就是:

$A(x)=1+3x+5x^2+...$

$B(x)=0+3x+6x^2+...$

而后把这两个卷起来的第$n$项就是答案

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2.如今有A,B两种物品,A中的物品只可以取奇数个,B中的只能取3的倍数个,求取n个有多少种方法(考虑取出的顺序)

考虑顺序的话就是EGF,仍是像上面同样写出来

$A(x)=\frac{1}{1!}x+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5...$

$B(x)=1+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+...$

而后咱们就能够感受这两个东西和咱们以前有一个很像:

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

不是吗?

而后考虑$x$与$-x$的展开和这个东西好像截然相反...

而后搞一下就行了.

因此:

$A(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$B(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

而后这两个东西就很简单了.

应用

例题什么的蒯一发yyb的不就行了

字符串配对匹配相关

回文串匹配

BZOJ3160 万径人踪灭 Solution

考虑下面的这样一个回文串的式子： $s[x+i]=s[x-i]$，显然$x$是回文中心，而后考虑$(x-i)+(x+i)=2x$这样的式子，不难发现就是一个卷积，而后就很简单了。

考虑只有两种,a或b,分别对于这两种字母做为1|0搞一下

按照上面的作法卷起来-回文串的个数就是答案了.

有向图计数

具体观看Solution of DAG

未完待续