过三点的圆

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• 圆的通常式
• 基本性质1, 系数肯定
• 基本性质2, 点与圆位置判断
  • 各点平移\((-x_p,-y_p)\)

做者: 姚彧
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0.1	2019-05-28	建立文档

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圆的通常式

\(Ax^2+Ay^2 + Dx + Ey + F = 0 (D^2+E^2-4F>0)\)

基本性质1, 系数肯定

在替换位于圆上的三个给定点以后，咱们获得可由行列式描述的方程组：

\(\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right| = 0\)

系数$ A，B，C和D$能够经过求解如下行列式：

\(A=\left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right|\)

\(B=-\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1 \end{array}\right|\)

\(C=\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & 1 \end{array}\right|\)

\(D=-\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 \end{array}\right|\)

基本性质2, 点与圆位置判断

设\(P(x_p,y_p)\)为任意一点, 在替换位于圆上的三个给定点以后，咱们获得行列式：

\(P=\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right|\) 式1

\(\left\{\begin{aligned} P=0, 在圆上 \\ P>0, 在圆内\\ P<0, 在圆外 \end{aligned}\right.\)

各点平移\((-x_p,-y_p)\)

得新的\(P(0,0)\), \((x_0, y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2)\)代入式1得

\(P=\left|\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 \end{array}\right|\) 式2

化简后的计算公式更简单。