CH3401 石头游戏（矩阵快速幂加速递推）

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题目：

3401 石头游戏 0x30「数学知识」例题 描述 石头游戏在一个 n 行 m 列 (1≤n,m≤8) 的网格上进行，每一个格子对应一种操做序列，操做序列至多有10种，分别用0~9这10个数字指明。 操做序列是一个长度不超过6且循环执行、每秒执行一个字符的字符串。每秒钟，全部格子同时执行各自操做序列里的下一个字符。序列中的每一个字符是如下格式之一： 数字0~9：表示拿0~9个石头到该格子。 NWSE：表示把这个格子内全部的石头推到相邻的格子，N表示上方，W表示左方，S表示下方，E表示右方。 D：表示拿走这个格子的全部石头。 给定每种操做序列对应的字符串，以及网格中每一个格子对应的操做序列，求石头游戏进行了 t 秒以后，石头最多的格子里有多少个石头。在游戏开始时，网格是空的。 输入格式 第一行4个整数n, m, t, act。 接下来n行，每行m个字符，表示每一个格子对应的操做序列。 最后act行，每行一个字符串，表示从0开始的每一个操做序列。 输出格式 一个整数：游戏进行了t秒以后，全部方格中最多的格子有多少个石头。 样例输入 1 6 10 3
011112 1E E 0 样例输出 3 样例解释 这是另外一个相似于传送带的结构。左边的设备0间隔地产生石头并向东传送。设备1向右传送，直到设备2。10秒后，总共产生了5个石头，2个在传送带上，3个在最右边。

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题目注：

　　答案会超int，要用longlong，看了眼数据t的范围好像是1e9，其余的无所谓了。

思路：

（如下参考李煜东《算法竞赛进阶指南》）

　　这题数据范围都没给齐，要是直接作确定一脸懵逼。不过《算法竞赛进阶指南》上做为了矩阵快速幂的例题，那就用矩阵快速幂了。。

　　要找两个东西，状态矩阵和转移矩阵。

状态矩阵：

　　题目中的状态是一个n*m的矩阵，而通常状况下矩阵快速幂要求用一维向量做为状态矩阵，因此就把这个状态拉成长度为n*m的向量了。。。

　　原矩阵的(i, j) 为状态矩阵中的F[(i-1)*m + j]，不妨令num(i, j) = (i-1)*m + j。那么在状态矩阵中就是F[num(i, j)]了。

　　另外，令F[0] = 1，做为常数1，方便转移出常数。

转移矩阵：

　　假设ch为原矩阵对应位置i, j对应时刻k的操做：

　　① 若是ch为"N"，则Ak(num(i, j), num(i-1, j)) = 1; ch 为 "W"、"E"、"S"也是同理。被转移的位置判断一下是否合法。

　　② 若是ch为[0-9]，则A_k(0, num(i, j)) = ch-'0'（加上数值），A_k(num(i, j), num(i, j)) = 1（保留上个状态的值）

　　③ 保证F[0]不变，A_k(0, 0) = 1；

　　④ A_k的其它部分为0。

不一样的时刻有不一样的转移矩阵，可是因为[1-6]的最小公倍数为60（6为操做序列的最大长度），因此直接处理k = 0-59时刻的全部状态矩阵，而后分解t = q*60 + r（0 ≤ r ＜ 60），

令$A =\prod_{k = 0}^{59}A_{k}$，则$F_{t} = F_{0} * A^{q} * \prod_{k=0}^{r-1}A_{k}$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std; typedef long long ll; const int MAX_NM = 65; int n, m, t, act; string opt[10]; string acts[10]; ll F[MAX_NM], A[60][MAX_NM][MAX_NM], AAA[MAX_NM][MAX_NM]; inline int num(int i, int j) { return (i-1)*m + j; } void mul(ll f[MAX_NM], ll a[MAX_NM][MAX_NM]) { ll c[MAX_NM]; memset(c, 0, sizeof c); for (int j = 0; j < MAX_NM; j++) for (int k = 0; k < MAX_NM; k++) c[j] += f[k] * a[k][j]; memcpy(f, c, sizeof c); } void mulb(ll a[MAX_NM][MAX_NM], ll b[MAX_NM][MAX_NM]) { ll c[MAX_NM][MAX_NM]; memset(c, 0, sizeof c); for (int i = 0; i < MAX_NM; i++) for (int j = 0; j < MAX_NM; j++) for (int k = 0; k < MAX_NM; k++) c[i][j] += a[i][k]*b[k][j]; memcpy(a, c, sizeof c); } void mulself(ll a[MAX_NM][MAX_NM]) { ll c[MAX_NM][MAX_NM]; memset(c, 0, sizeof c); for (int i = 0; i < MAX_NM; i++) for (int j = 0; j < MAX_NM; j++) for (int k = 0; k < MAX_NM; k++) c[i][j] += a[i][k]*a[k][j]; memcpy(a, c, sizeof c); } void init() { memset(A, 0, sizeof A); memset(F, 0, sizeof F); F[0] = 1; for (int k = 0; k < 60; k++) { A[k][0][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { int index = opt[i-1][j-1] - '0'; int indey = k % acts[index].size(); char ch = acts[index][indey]; if (isupper(ch)) { switch (ch) { case 'N': if (i-1 >= 1) A[k][num(i, j)][num(i-1, j)] = 1; break; case 'S': if (i+1 <= n) A[k][num(i, j)][num(i+1, j)] = 1; break; case 'W': if (j-1 >= 1) A[k][num(i, j)][num(i, j-1)] = 1; break; case 'E': if (j+1 <= m) A[k][num(i, j)][num(i, j+1)] = 1; break; case 'D': A[k][num(i, j)][num(i, j)] = 0; } } if (isdigit(ch)) { A[k][num(i, j)][num(i, j)] = 1; A[k][0][num(i, j)] = ch - '0'; } } } } for (int i = 0; i < MAX_NM; i++) AAA[i][i] = 1; for (int k = 0; k < 60; k++) mulb(AAA, A[k]); } int main() { cin >> n >> m >> t >> act; for (int i = 0; i < n; i++) cin >> opt[i]; for (int i = 0; i < act; i++) cin >> acts[i]; init(); int q = t/60; int r = t%60; // t = q*60 + r;
    for (; q; q >>= 1) { if (q&1) mul(F, AAA); mulself(AAA); } for (int i = 0; i < r; i++) mul(F, A[i]); ll ans = 0; for (int i = 1; i < MAX_NM; i++) ans = max(ans, F[i]); cout << ans << endl; return 0; }

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