《机器学习_06_优化_拟牛顿法实现(DFP,BFGS)》

一.简介

经过前面几节的介绍，你们能够直观的感觉到：对于大部分机器学习模型，咱们一般会将其转化为一个优化问题，因为模型一般较为复杂，难以直接计算其解析解，咱们会采用迭代式的优化手段，用数学语言描述以下：

\[\min_{v^k} f(x^k+v^k) \]

这里目标函数为\(f(x)\)，当前优化变量为\(v^k\)，目标便是找到一个\(v^k\)对当前的\(x^k\)进行更新，使得函数值尽量的下降，若是目标函数一阶可微，对其做一阶泰勒展开便可获得以下梯度降低的更新公式：

二.梯度降低

对目标函数做一阶泰勒展开：

\[f(x^k+v^k)=f(x^k)+\triangledown f(x^k)^Tv^k \]

因此要使得\(f(x^k+v^k)<f(x^k)\)只须要使\(\triangledown f(x^k)^Tv^k<0\)便可，而若是取：

\[v^k=-\lambda_k \triangledown f(x^k),\lambda_k>0 \]

则必定能使\(\triangledown f(x^k)^Tv^k<0\)，因此，咱们就获得了梯度降低的更新公式：

\[x^{k+1}=x^k+v^k=x^k-\lambda_k \triangledown f(x^k) \]

这里\(\lambda_k\)通常能够设置一个较小的定值，或者初始设置一个定值并使其随着迭代次数增长而递减；另外更好的作法是利用一维搜索：\(min_{\lambda_k}f(x^k-\lambda_k\triangledown f(x^k))\)求一个最优的\(\lambda_k\)，接下来咱们想一下下面两个问题：

（1）梯度降低法必定能使得函数值降低吗？

（2）若它能使函数值降低，则它是最优的方向吗？

对于第一个问题，泰勒展开实际上是有一个条件的，那就是\(v^k\rightarrow 0\)，再结合上面的更新公式，若是\(\lambda_k\)取得过大时，咱们是不能省略泰勒展开后面的项的，并且后面项的取值也不必定能保证小于0，因此有时咱们设置的学习率\(\lambda_k\)较大时，函数值反而会上升。

因此，当\(v^k\)的取值大到不能忽略后面的项时，泰勒展开的二阶项取值就必需要考虑其中了，因此这时梯度降低法未必时最优的方向，接下来咱们看下二阶展开的状况：

三.牛顿法

对其做二阶泰勒展开：

\[f(x^k+v^k)=f(x^k)+\triangledown f(x^k)^Tv^k+\frac{1}{2}{v^k}^T\triangledown^2 f(x^k)v^k\\ =f(x^k)+g_k^Tv^k+\frac{1}{2}{v^k}^TH_kv^k \]

这里为了方便，记\(g_k=g(x^k)=\triangledown f(x^k),H_k=H(x^k)=\triangledown^2 f(x^k)\)，\(H_k\)表示Hessian矩阵在\(x^k\)处的取值，Hessian矩阵的定义：

\[H(x)=[\frac{\partial f}{\partial x_i\partial x_j}]_{n\times n} \]

对于大部分机器学习模型，一般目标函数是凸的，因此\(H(x)\)半正定，即对于\(\forall v^k\)，都有\({v^k}^TH_kv^k\geq0\)，此时，\(f(x^k)+g_k^Tv^k+\frac{1}{2}{v^k}^TH_kv^k\)是关于\(v^k\)的凸二次规划问题，因此最优的\(v^k\)在其梯度为0处取得：

\[\frac{\partial f(x^k+v^k)}{\partial v^k}=g^k+H^kv^k=0\\ \Rightarrow v^k=H_k^{-1}(-g_k) \]

能够发现牛顿法对比梯度降低法，其实牛顿法是对梯度法的方向进行了一个改变\(H_k^{-1}\)，因此，咱们能够获得牛顿法的更新公式：

\[x^{k+1}=x^k-\lambda_kH_k^{-1}g_k\\ =x^k+\lambda_k p_k \]

这里记\(p_k=-H_k^-1g_k\)；

能够发现牛顿法的复杂有点高，由于要求解\(H_k^{-1}\)，那么有没有方便一点的方法呢？好比构建一个矩阵去近似\(H_k\)或者\(H_k^{-1}\)，这即是拟牛顿法的基本思想

四.拟牛顿条件

上面说到了利用一个矩阵去近似Hessian矩阵或者Hessian矩阵的逆，那么这个近似矩阵须要知足怎样的条件呢？咱们仍是从二阶泰勒展开出发，稍微变换一下：

\[f(x^{k+1})=f(x^k)+g_k^T(x^{k+1}-x^k)+\frac{1}{2}(x^{k+1}-x^k)^TH_k(x^{k+1}-x^k) \]

两边对\(x^{k+1}\)求偏导可得：

\[g_{k+1}=g_k+H_k(x^{k+1}-x^k) \]

这即是拟牛顿条件，为了方便，记\(y_k=g_{k+1}-g_k,\delta_k=x^{k+1}-x^k\)，因此：

\[y_k=H_k\delta_k \]

因此，拟牛顿法也要知足和\(H_k\)同样的性质：

（1）正定性；

（2）知足拟牛顿条件

接下来，简单证实一下若是知足性质（1）：正定性，更新时能够知足函数值降低，假设\(G_k\)去近似\(H_k^{-1}\)，因此：\(G_k\succ 0\)，那么迭代公式为：

\[x^{k+1}=x^k-\lambda_kG_kg_k,\lambda_k>0 \]

将其带入二阶泰勒展开式中：

\[f(x^{k+1})=f(x^k)-\lambda_kg_k^TG_kg_k+\frac{1}{2}\lambda_k^2g_k^TG_k^TH_kG_kg_k \]

一般\(\lambda_k^2<<\lambda_k\)，因此能够省略第三项，而第二项因为\(G_k\succ 0\)，因此\(-\lambda_kg_k^TG_kg_k< 0\)，因此\(f(x^{k+1})<f(x^k)\)

五.DFP算法

DFP算法即是利用\(G_k\)近似\(H_k^{-1}\)的一种算法，它的构造很tricky，它假设每一步迭代中矩阵\(G_{k+1}\)是由\(G_k\)加上两个附加项构成的，即：

\[G_{k+1}=G_k+P_k+Q_k \]

这里\(P_k,Q_k\)是待定项，因为须要知足拟牛顿条件，因此：

\[G_{k+1}y_k=\delta_k=G_ky_k+P_ky_k+Q_ky_k \]

这里作一个tricky的假设：

\[P_ky_k=\delta_k\\ Q_ky_k=-G_ky_k \]

这样的\(P_k,Q_k\)不难找到：

\[P_k=\frac{\delta_k\delta_k^T}{\delta_k^Ty_k}\\ Q_k=-\frac{G_ky_ky_k^TG_k}{y_k^TG_ky_k} \]

因此，矩阵\(G_{k+1}\)的迭代公式：

\[G_{k+1}=G_k+\frac{\delta_k\delta_k^T}{\delta_k^Ty_k}-\frac{G_ky_ky_k^TG_k}{y_k^TG_ky_k} \]

能够证实，只要初始矩阵\(G_0\)正定对称，则迭代过程当中的每一个矩阵\(G_k\)均正定对称，接下来对其进行代码实现：

import numpy as np
"""
DPF拟牛顿法,封装到ml_models.optimization模块,与梯度降低法配合使用
"""


class DFP(object):
    def __init__(self, x0, g0):
        """

        :param x0: 初始的x
        :param g0: 初始x对应的梯度
        """
        self.x0 = x0
        self.g0 = g0
        # 初始化G0
        self.G0 = np.eye(len(x0))

    def update_quasi_newton_matrix(self, x1, g1):
        """
        更新拟牛顿矩阵
        :param x1:
        :param g1:
        :return:
        """
        # 进行一步更新
        y0 = g1 - self.g0
        delta0 = x1 - self.x0
        self.G0 = self.G0 + delta0.dot(delta0.T) / delta0.T.dot(y0)[0][0] - self.G0.dot(y0).dot(y0.T).dot(self.G0) / y0.T.dot(
            self.G0).dot(y0)[0][0]

    def adjust_gradient(self, gradient):
        """
        对原始的梯度作调整
        :param gradient:
        :return:
        """
        return self.G0.dot(gradient)

应用到LogisticRegression

咱们试一试将DFP算法应用到LogisticRegression，修改的地方以下：

fit函数追加以下的一个判断：

elif self.solver == 'dfp':
    self.dfp = None
    self._fit_sgd(x, y)

_fit_sgd函数中，在梯度更新前作以下调整：

if self.solver == 'dfp':
    if self.dfp is None:
        self.dfp = optimization.DFP(x0=self.w, g0=dw)
    else:
        # 更新一次拟牛顿矩阵
        self.dfp.update_quasi_newton_matrix(self.w, dw)
    # 调整梯度方向
    dw = self.dfp.adjust_gradient(dw)

"""
梯度降低和DFP作一下对比
"""
from sklearn.datasets import make_classification
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

data, target = make_classification(n_samples=200, n_features=2, n_classes=2, n_informative=1, n_redundant=0,
                                   n_repeated=0, n_clusters_per_class=1)
target = target.reshape(200, 1)

import os
os.chdir('../')
from ml_models.linear_model import LogisticRegression

sgd_model = LogisticRegression(epochs=50)
sgd_model.fit(data, target)

dfp_model = LogisticRegression(solver='dfp',epochs=50)
dfp_model.fit(data,target)

#损失函数对比
plt.plot(range(0, len(sgd_model.losses)), sgd_model.losses,'b')
plt.plot(range(0, len(dfp_model.losses)), dfp_model.losses,'r')

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x169fb529588>]

能够发现，大部分状况下DFP比SGD收敛的更快，且收敛效果更好

#分类效果对比
sgd_model.plot_decision_boundary(data,target)
dfp_model.plot_decision_boundary(data,target)

六.BFGS算法

BFGS算法是用一个矩阵\(B_k\)去模拟海瑟矩阵\(H_k\)，它的更新公式一样假设有两个附加项：

\[B_{k+1}=B_k+P_k+Q_k \]

固然，它须要知足拟牛顿条件：

\[B_{k+1}\delta_k=y_k \]

因此：

\[B_{k+1}\delta_k=B_k\delta_k+P_k\delta_k+Q_k\delta_k=y_k \]

考虑，使\(P_k\)和\(Q_k\)知足下面两个条件：

\[P_k\delta_k=y_k\\ Q_k\delta_k=-B_k\delta_k \]

能够获得知足条件的解：

\[P_k=\frac{y_ky_k^T}{y_k^T\delta_k}\\ Q_k=-\frac{B_k\delta_k\delta_k^TB_k}{\delta_k^TB_k\delta_k} \]

因此更新公式：

\[B_{k+1}=B_k+\frac{y_ky_k^T}{y_k^T\delta_k}-\frac{B_k\delta_k\delta_k^TB_k}{\delta_k^TB_k\delta_k} \]

一样能够证实，若是\(B_0\)正定对称，那么迭代过程当中的每一个矩阵\(B_k\)都是正定对称的，因为这里是对\(H_k\)的近似，因此每次更新梯度时，还须要对\(B_k\)作求逆计算，咱们可使用两次以下的Sherman-Morrison公式：

\[(A+uu^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uu^TA^{-1}}{1+u^TA^{-1}u} \]

获得BFGS算法关于\(G_k\)的迭代公式：

\[G_{k+1}=(I-\frac{\delta_ky_k^T}{\delta_k^Ty_k})G_k(I-\frac{\delta_ky_k^T}{\delta_k^Ty_k})^T+\frac{\delta_k\delta_k^T}{\delta_k^Ty_k} \]

接下来，进行代码实现：

"""
BFGS拟牛顿法,封装到ml_models.optimization模块,与梯度降低法配合使用
"""


class BFGS(object):
    def __init__(self, x0, g0):
        """

        :param x0: 初始的x
        :param g0: 初始x对应的梯度
        """
        self.x0 = x0
        self.g0 = g0
        # 初始化B0
        self.B0 = np.eye(len(x0))

    def update_quasi_newton_matrix(self, x1, g1):
        """
        更新拟牛顿矩阵
        :param x1:
        :param g1:
        :return:
        """
        # 进行一步更新
        y0 = g1 - self.g0
        delta0 = x1 - self.x0
        self.B0 = self.B0 + y0.dot(y0.T) / y0.T.dot(delta0)[0][0] - self.B0.dot(delta0).dot(delta0.T).dot(self.B0) / \
                                                                    delta0.T.dot(self.B0).dot(delta0)[0][0]

    def adjust_gradient(self, gradient):
        """
        对原始的梯度作调整
        :param gradient:
        :return:
        """
        return np.linalg.pinv(self.B0).dot(gradient)

应用到LogisticRegression

fit函数追加以下的一个判断：

elif self.solver == 'bfgs':
    self.bfgs = None
    self._fit_sgd(x, y)

_fit_sgd函数中，在梯度更新前作以下调整：

if self.solver == 'bfgs':
    if self.bfgs is None:
        self.bfgs = optimization.BFGS(x0=self.w, g0=dw)
    else:
        # 更新一次拟牛顿矩阵
        self.bfgs.update_quasi_newton_matrix(self.w, dw)
    # 调整梯度方向
    dw = self.bfgs.adjust_gradient(dw)

#训练模型
bfgs_model = LogisticRegression(solver='bfgs',epochs=50)
bfgs_model.fit(data,target)

#损失函数对比
plt.plot(range(0, len(sgd_model.losses)), sgd_model.losses,'b')
plt.plot(range(0, len(dfp_model.losses)), dfp_model.losses,'r')
plt.plot(range(0, len(bfgs_model.losses)), bfgs_model.losses,'y')

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x169fd6e7b38>]

能够发现大部分状况下BFGS会比DFS收敛更快

#查看效果
bfgs_model.plot_decision_boundary(data,target)