不知道蓄水池抽样算法？那就进来看看吧~

力扣中关于蓄水池抽样问题官方标签是 2 道，根据个人作题状况来看，可能有三四道。比重算是比较低的，你们能够根据本身的实际状况选择性掌握。

蓄水池抽样的算法思惟很巧妙，代码简单且容易理解，就算不掌握它，做为了解也是很不错的。

问题描述

给出一个数据流，咱们须要在此数据流中随机选取 k 个数。因为这个数据流的长度很大，所以须要边遍历边处理，而不能将其一次性所有加载到内存。

请写出一个随机选择算法，使得数据流中全部数据被等几率选中。

这种问题的表达形式有不少。好比让你随机从一个矩形中抽取 k 个点，随机从一个单词列表中抽取 k 个单词等等，要求你等几率随机抽取。无论描述怎么变，其本质上都是同样的。今天咱们就来看看如何作这种题。

算法描述

这个算法叫蓄水池抽样算法（reservoid sampling）。

其基本思路是：

• 构建一个大小为 k 的数组，将数据流的前 k 个元素放入数组中。
• 对数据流的前 k 个数先不进行任何处理。
• 从数据流的第 k + 1 个数开始，在 [1, i] 之间选一个数 rand，其中 i 表示当前是第几个数。
• 若是 rand 大于等于 k 什么都不作
• 若是 rand 小于 k， 将 rand 和 i 交换，也就是说选择当前的数代替已经被选中的数（备胎）。
• 最终返回幸存的备胎便可

这种算法的核心在于先以某一种几率选取数，并在后续过程以另外一种几率换掉以前已经被选中的数。所以实际上每一个数被最终选中的几率都是被选中的几率 * 不被替换的几率。

伪代码：

伪代码参考的某一本算法书，并略有修改。

Init : a reservoir with the size： k
for i= k+1 to N
    if(random(1, i) < k) {
        SWAP the Mth value and ith value
    }

这样能够保证被选择的数是等几率的吗？答案是确定的。

• 当 i <= k ，i 被选中的几率是 1。
• 到第 k + 1 个数时，第 k + 1 个数被选中的几率（走进上面的 if 分支的几率）是 $\frac{k}{k+1}$，到第 k + 2 个数时，第 k + 2 个数被选中的几率（走进上面的 if 分支的几率）是 $\frac{k}{k+2}$，以此类推。那么第 n 个数被选中的几率就是 $\frac{k}{n}$
• 上面分析了被选中的几率，接下来分析不被替换的几率。到第 k + 1 个数时，前 k 个数被替换的几率是 $\frac{1}{k}$。到前 k + 2 个数时，第 k + 2 个数被替换的几率是 $\frac{1}{k}$，以此类推。也就是说全部的被替换的几率都是 $\frac{1}{k}$。知道了被替换的几率，那么不被替换的几率其实就是 1 - 被替换的几率。

所以对于前 k 个数，最终被选择的几率都是 1 * 不被 k + 1 替换的几率 * 不被 k + 2 替换的几率 * ... 不被 n 替换的几率，即 1 * (1 - 被 k + 1 替换的几率) * (1 - 被 k + 2 替换的几率) * ... (1 - 被 n 替换的几率)，即 $1 \times (1 - \frac{k}{k+1} \times \frac{1}{k}) \times (1 - \frac{k}{k+2} \times \frac{1}{k}) \times ... \times (1 - \frac{k}{n} \times \frac{1}{k}) = \frac{k}{n} $。

对于 第 i (i > k) 个数，最终被选择的几率是 第 i 步被选中的几率 * 不被第 i + 1 步替换的几率 * ... * 不被第 n 步被替换的几率， 即 $\frac{k}{k+1} \times (1 - \frac{k}{k+2} \times \frac{1}{k}) \times ... \times (1 - \frac{k}{n} \times \frac{1}{k}) = \frac{k}{n} $。

总之，无论是哪一个数，被选中的几率都是 $\frac{k}{n}$，知足几率相等的需求。

相关题目

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总结

蓄水池抽样算法核心代码很是简单。可是却不容易想到，尤为是以前没见过的状况下。其核心点在于每一个数被最终选中的几率都是被选中的几率 * 不被替换的几率。因而咱们能够采起某一种动态手段，使得每一轮都有几率选中和替换一些数字。 上面咱们有给出了几率相等的证实过程，你们不妨本身尝试证实一下。以后结合文末的相关题目练习一下，效果会更好。