查找——二分查找

　　二分查找也叫作折半查找，查找的对象是已经排好序的序列（通常默认为升序）。

　　让咱们来看看原理：顾名思义，就是先将中间数和目标key比较，若是相等则返回其索引，不然把序列分红两半，根据大小判断所查找的key在哪一半中，对这一半序列再重复上述步骤，直到找到目标key或查找完序列。

通常的二分查找

　　被查找的序列arr中无重复的元素，在此序列中查找目标数target。

　　被查找的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 4, 5, 8, 13, 19, 20, 33, 38, 40, 48, 88 }。

public static int binarySearch(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; }
　　 // 肯定别查找的区间 int left = 0; int right = arr.length - 1;
　　 // 开始查找【left，right】区间 while (left <= right) {
　　　　　// 找到中间数的索引 int mid = (left + right) / 2;
　　　　　// 判断 中间数 和 target 的大小 if (arr[mid] == target) {　　　　　// 若相等，则返回其索引 return mid; } else if (arr[mid] > target) {　 // 若大于，肯定前半段区间 right = mid - 1; } else if (arr[mid] < target) {　 // 若小于，肯定后半段区间 left = mid + 1; } }
　　 // 若是未查找到，则返回-1 return -1; }

　　第一步，初始化原序列，left指向索引为0的位置，即此区间的第一个元素，right指向索引为arr.length-1的位置，即此区间最后一个元素，也就是说这个区间是闭区间，[left，right]区间内的元素都是被查的元素。

　　第二步，找到中间元素的索引mid，判断中间元数和目标数target的值是否相等：

• 若中间数等于target，说明已经找到了目标数了，查找成功，直接返回其索引mid；
• 若中间数小于target，说明要查找的数在后半段，即[mid+1，right]，因此将mid+1值赋给left，肯定下次要查找的区间，重复第二步；
• 若中间数大于target，说明要查找的数在前半段，即[left，mid-1]，因此将mid-1值赋给right，肯定下次要查找的区间，重复第二步；

 　　第三步，当查找到left==right时，是最后一个区间，即[left，left],此区间只有一个元素，即下标为left的元素。若是此元素是目标数则查找成功，返回其索引；若是不是，会从新肯定left或right的值，使得left>right，查找完毕退出循环，返回-1。

有重复元素的二分查找

　　被查找的序列arr中有重复的元素，在此序列中查找目标数target。

　　被查找的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 5, 5, 5, 13, 19, 33, 33, 38, 40, 48, 48 }。

1.寻找左侧边界的二分查找

　　顾名思义，就是当序列中被查找的数有多个时，找到最左边的那个数的位置，而后返回其索引。固然，若是被查找的数只有一个，找到并返回其索引就行了，不然返回-1。

public static int binarySearch1(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; } int left = 0; int right = arr.length;               // 右侧未闭合
    while (left < right) {                // left==right时，退出循环
        int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == target) {         // 找到时，right向右侧靠拢，记住此位置
            right = mid; }else if (arr[mid] < target) {    // 小于时，左侧闭合，向右靠拢
            left = mid + 1; }else if (arr[mid] > target) {    // 大于时，右侧不闭合，向左靠拢
            right = mid; } } if (left == arr.length) {            // 若是target大于全部元素，返回-1
        return -1; } return arr[left] == target ? left : -1; }

 　　大框架并无发生变化，改变的地方须要说一下：

　　首先，while的条件变了， left <= righ 变成了 left < right ，当left == right时退出循环，为何要变呢？由于咱们此次所查找的区间是左闭右开的，[left，right)，当left增加到left == right时，所查找的区间已查找完毕，这时咱们就要退出循环了。为何要这样设计？此中妙处，请往下看。

　　 if (left == arr.length) { return -1; } 这段代码是干啥的？这是当咱们要查找的数大于此序列的全部数时，left会一直增长到left == right，而此时的right并未改变,就是arr.length。这段代码是为了处理这这种状况。

　　当中间数不是target时，调整下次要查询的区间的范围，你们应该能够理解，由于这是左闭右开的区间。

　　当中间数等于target时， right = mid; ，怎么回事？找到 target 时不要当即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。固然，若是此时right锁定的就是左边界，left会一直向右收缩，直到left == right。

　　最后的 return arr[left] == target ? left : -1; 是为了应对target小于全部数时的状况和是否找到target时的状况。

 2.寻找右侧边界的二分搜索

　　与上面的相反，就是当序列中被查找的数有多个时，找到最右边的那个数的位置，而后返回其索引。固然，若是被查找的数只有一个，找到并返回其索引就行了，不然返回-1。

public static int binarySearch2(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; } int left = 0; int right = arr.length; while (left < right) { int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == target) { left = mid+1; }else if (arr[mid] < target) { left = mid+1; }else if (arr[mid] > target) { right = mid; } } if (left == 0) { return -1; } return arr[left-1] == target ? (left-1) : -1; }

　　当咱们查找左边界的时候，咱们是用right指针来锁定左侧边界的；同理，当咱们查找右边界的时候，咱们用left来锁定右边界，但有一点小区别，由于查找区间是左闭右开的，left指向的元素在查找范围内，所以咱们用left的前一个元素来锁定右边界。

　　这就是为何当中间元素等于target时，咱们要 left = mid+1; 呢，left的前一个元素最终会锁定的右边界，这也就对应了后面的return语句中为何是left - 1，由于left - 1指向的最右边的target元素。

　　 if (left == 0) { return -1; } 这段代码是为了应对当target小于全部元素时的状况，由于后面有left-1，没有这条语句的话会形成索引越界的状况。

总结一下

　　二分查找有一个实现框架：

public static int binarySearch(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; } int left = 0; int right = --------; while (--------) { int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == target) { --------; } else if (arr[mid] > target) { right = --------; } else if (arr[mid] < target) { left = --------; } } return --------; }

　　当咱们实现时根据题目的具体要求，来调整框架中所填部分的值。

　　通常的二分查找最为简单；当有重复数字时，查找相对复杂一些，本文中只提到了查找左右边界的状况，但日常咱们还会遇到一些变种的二分查找状况，好比：查找最后一个等于或者小于key的元素、查找最后一个小于key的元素、查找第一个等于或者大于key的元素、查找第一个大于key的元素等。虽然变化不少，但万变不离其宗！读者只要理解查找的原理和每一步的过程，将其融会贯通，即可攻无不克。