记忆化搜索的应用

记忆化搜索的应用

通常来讲，动态规划总要遍历全部的状态，而搜索能够排除一些无效状态。更重要的是搜索还能够剪枝，可能剪去大量没必要要的状态，所以在空间开销上每每比动态规划要低不少。

如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折中的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候仍是按着自顶向下的顺序，每求解一个状态，就将它的解保存下来，之后再次遇到这个状态的时候，就没必要从新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优势，于是仍是颇有使用价值的。

举一个例子：如右图所示是一个有向无环图，求从顶点1到顶点6的最长路径。（规定边的方向从左到右）

咱们将从起点（顶点1）开始到某个顶点的最长路径做为状态，用一维数组opt记录。Opt[j]表示由起点到顶点j时的最长路径。显然，opt[1]=0，这是初始状态，即动态规划的边界条件。因而，咱们很容易地写出状态转移方程式：opt[j]=max{opt[k]+a[k,j]}（k到j有一条长度为a[k,j]的边）。虽然有了完整的状态转移方程式，可是仍是不知道动态规划的顺序。因此，还须要先进行一下拓扑排序，按照排序的顺序推下去，opt[6]就是问题的解。

能够看出，动态规划相比搜索之因此高效，是由于它将全部的状态都保存了下来。当遇到重复子问题时，它不像搜索那样把这个状态的最优值再计算一遍，只要把那个状态的最优值调出来就能够了。例如，当计算opt[4]和opt[5]时，都用到了opt[3]的值。由于已经将它保存下来了，因此就没有必要再去搜索了。

可是动态规划仍然是有缺点的。一个很突出的缺点就是要进行拓扑排序。这道题的拓扑关系是很简单的，但有些题的拓扑关系是很复杂的。对于这些题目，若是也进行拓扑排序，工做量很是大。遇到这种状况，咱们能够用记忆化搜索的方法，避免拓扑排序。

【例】滑雪

【问题描述】

小明喜欢滑雪，由于滑雪的确很刺激，但是为了得到速度，滑的区域必须向下倾斜，当小明滑到坡底，不得再也不次走上坡或等着直升机来载他，小明想知道在一个区域中最长的滑坡。滑坡的长度由滑过点的个数来计算，区域由一个二维数组给出，数组的每一个数字表明点的高度。下面是一个例子：

1     2     3     4     5

16    17    18    19    6

15    24    25    20    7

14    23    22    21    8

13    12    11    10    9

一我的能够从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减少，在上面的例子中，一条可行的滑坡为25-24-17-16-1（从25开始到1结束），固然25-24……2…1更长，事实上这是最长的一条。

【输入格式】

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数R和列数C（1≤R、C≤100），下面是R行，每行有C个数表明高度。

【输出格式】

输出区域中最长的滑坡长度。

【输入样例】ski.in

5      5

1      2     3     4     5

16    17    18    19    6

15    24    25    20    7

14    23    22    21    8

13    12    11    10    9

【输出样例】ski.out

25

【算法分析】

因为一我的能够从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，如上图所示。当且仅当高度减少，对于任意一个点[i,j]，当它的高度小于与之相邻的四个点（[i-1,j], [i,j+1], [i+1,j], [i,j-1]）的高度时，这四个点能够滑向[i,j]，用f[i,j]表示到[i,j]为止的最大长度，则f[i,j]=max{f（i+a,j+b）}+1，其中坐标增量{(a,b)=[(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)],0<i+a<=r，0<j+b<=c，High[i,j]<High[i+a,j+b]}。为了保证知足条件的f[i+a,j+b]在f[i,j]前算出，须要对高度排一次序，而后从大到小规划（高度）。最后再比较一下全部f(i,j){0<i≤r,0<j≤c}，找出其中最长的一条路线。咱们还能够用记忆化搜索的方法，它的优势是不需进行排序，按照行的顺序，利用递归逐点求出区域中到达此点的最长路径，每一个点的最长路径只求一次。

 1 const
 2   dx:array[1..4] of shortint=(0,-1,0,1);    {x的坐标增量}
 3   dy:array[1..4] of shortint=(-1,0,1,0);    {y的坐标增量}
 4 var
 5  r,c,ans,anss:longint;  6   map,f:array[1..100,1..100] of longint;  7 procedure init;  8 var i,j:longint;  9 begin
10  readln(r,c); 11   for i:=1 to r do
12    for j:=1 to c do
13     read(map[i,j]);                   {读入每一个点的高度}
14   ans:=0; anss:=0; 15   fillchar(f,sizeof(f),0); 16 end; 17 function search(x,y:longint):longint;           {函数的做用是求到[x,y]点的最长路径}
18 var i,j,nx,ny,tmp,t:longint; 19 begin
20   if f[x,y]>0 then   {此点长度已经求出，没必要进行进一步递归，保证每个点的最大长度只求一次，这是记忆化搜索的特色}
21    begin
22      search:=f[x,y]; exit; 23    end; 24   t:=1; 25   for i:=1 to 4 do                      {从四个方向上搜索能达到[x,y]的点}
26    begin
27      nx:=x+dx[i]; ny:=y+dy[i];               {新坐标}
28      if (1<=nx)and(nx<=r) and (1<=ny)and(ny<=c)    {边界限制}
29                       and (map[nx,ny]>map[x,y])    {高度比较}
30       then
31        begin
32          tmp:=search(nx,ny)+1;              {递归进行记忆化搜索}
33          if tmp>t then t:=tmp; 34        end; 35    end; 36   f[x,y]:=t; 37   search:=t; 38 end; 39 procedure doit; 40 var i,j:longint; 41 begin
42   for i:=1 to r do               {按照行的顺序，利用递归逐点求出区域中到达此点的最长路径}
43    for j:=1 to c do
44      begin
45        anss:=search(i,j); 46        //f[i,j]:=anss; 47        if anss>ans then ans:=anss;          {寻找最大长度值}
48      end; 49 end; 50 procedure outit; 51 var i,j:longint; 52 begin
53   {for i:=1 to r do begin 54  for j:=1 to c do 55  write(f[i,j],' '); writeln; end;}
56  writeln(ans); 57 end; 58 begin
59  init; 60  doit; 61  outit; 62 end.