统计学基础之方差分析

目录：（摘自百度百科）

1、基本概念

2、类型：

一、单因素方差分析

二、双因素方差分析

三、协方差分析

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1、基本概念

方差分析又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差异的显著性检验。

方差分析的基本原理是认为不一样处理组的均数间的差异基原本源有两个：

(1) 实验条件，即不一样的处理形成的差别，称为组间差别。用变量在各组的均值与总均值之误差平方和的总和表示，记做SSb，组间自由度dfb。

(2) 随机偏差，如测量偏差形成的差别或个体间的差别，称为组内差别，用变量在各组的均值与该组内变量值之误差平方和的总和表示， 记做SSw，组内自由度dfw。

总误差平方和 SSt = SSb + SSw。

组内SSw、组间SSb除以各自的自由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，获得其均方MSw和MSb，一种状况是处理没有做用，即各组样本均来自同一整体，MSb/MSw≈1。另外一种状况是处理确实有做用，组间均方是因为偏差与不一样处理共同致使的结果，即各样原本自不一样整体。那么，MSb>>MSw(远远大于)。

MSb/MSw比值构成F分布。用F值与其临界值比较，推断各样本是否来自相同的整体。

 

2、类型：

一、单因素方差分析

　　是用来研究一个控制变量的不一样水平是否对观测变量产生了显著影响。研究单个因素对观测变量的影响，所以称为单因素方差分析。

　　例如，分析不一样施肥量是否给农做物产量带来显著影响，考察地区差别是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题均可以经过单因素方差分析获得答案。

　　单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农做物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

　　单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值的变更会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=SSA+SSE。

　　单因素方差分析的第三步是经过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

原理：

　　在观测变量总离差平方和中，若是组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变更主要是由控制变量引发的，能够主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，若是组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变更不是主要由控制变量引发的，不能够主要由控制变量来解释，控制变量的不一样水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变更是由随机变量因素引发的。

基本分析步骤：

一、提出原假设：H0——无差别；H1——有显著差别

二、选择检验统计量：方差分析采用的检验统计量是F统计量，即F值检验。

三、计算检验统计量的观测值和几率P值：该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的几率P值。

四、给定显著性水平，并做出决策

二、双因素方差分析

　　多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变量产生显著影响。研究多个因素对观测变量的影响，所以称为多因素方差分析。多因素方差分析不只可以分析多个因素对观测变量的独立影响，更可以分析多个控制因素的交互做用可否对观测变量的分布产生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。

　　例如：分析不一样品种、不一样施肥量对农做物产量的影响时，可将农做物产量做为观测变量，品种和施肥量做为控制变量。利用多因素方差分析方法，研究不一样品种、不一样施肥量是如何影响农做物产量的，并进一步研究哪一种品种与哪一种水平的施肥量是提升农做物产量的最优组合。

进一步分析：

一、创建非饱和模型

二、均值比较分析

三、控制变量交互做用的图形分析

 

三、协方差分析

　　协方差分析将那些人为很难控制的控制因素做为协变量，并在排除协变量对观测变量影响的条件下，分析控制变量（可控）对观测变量的做用，从而更加准确地对控制因素进行评价。

　　协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，并在分析观测变量变差时，考虑了协变量的影响，人为观测变量的变更受四个方面的影响：即控制变量的独立做用、控制变量的交互做用、协变量的做用和随机因素的做用，并在扣除协变量的影响后，再分析控制变量的影响。

　　方差分析中的原假设是：协变量对观测变量的线性影响是不显著的；在协变量影响扣除的条件下，控制变量各水平下观测变量的整体均值无显著差别，控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。检验统计量仍采用F统计量，它们是各均方与随机因素引发的均方比