背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具备必定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和无限背包，这里主要讨论01背包，即每一个物品最多放一个。而无限背包能够转化为01背包。html
先说一下算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来肯定是否须要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中可以装入容量为j的背包中的最大价值。则咱们有下面的结果：java
（1），v[i][0]=v[0][j]=0;算法
（2），v[i][j]=v[i-1][j] 当w[i]>j数组
（3），v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]} 当j>=w[i]学习
好的，咱们的算法就是基于此三个结论式。优化
1、01背包：spa
一、二维数组法code
public class sf {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量
int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值
int m = 12; //背包容量
int n = val.length; //物品个数
int[][] f = new int[n+1][m+1]; //f[i][j]表示前i个物品能装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//初始化第一列和第一行
for(int i=0;i<f.length;i++){
f[i][0] = 0;
}
for(int i=0;i<f[0].length;i++){
f[0][i] = 0;
}
//经过公式迭代计算
for(int i=1;i<f.length;i++){
for(int j=1;j<f[0].length;j++){
if(weight[i-1]>j)
f[i][j] = f[i-1][j];
else{
if(f[i-1][j]<f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]){
f[i][j] = f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1];
path[i][j] = 1;
}else{
f[i][j] = f[i-1][j];
}
//f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]);
}
}
}
for(int i=0;i<f.length;i++){
for(int j=0;j<f[0].length;j++){
System.out.print(f[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
int i=f.length-1;
int j=f[0].length-1;
while(i>0&&j>0){
if(path[i][j] == 1){
System.out.print("第"+i+"个物品装入 ");
j -= weight[i-1];
}
i--;
}
}
} 输出：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 0 0 3 4 4 7 7 7 8 8 11 11 11 0 0 3 4 4 7 7 7 8 9 11 12 12 0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12 第4个物品装入 第3个物品装入 第1个物品装入
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却能够优化到O(V)。xml
先考虑上面讲的基本思路如何实现，确定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的全部值。那么，若是只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是咱们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，可否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）可以获得f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中咱们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码以下：htm
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就至关于咱们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，由于如今的f[v-c[i]]就至关于原来的f[i-1][v-c[i]]。若是将v的循环顺序从上面的逆序改为顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它倒是另外一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
咱们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“刚好装满背包”时的最优解，有的题目则并无要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不一样。
若是是第一种问法，要求刚好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就能够保证最终获得的f[N]是一种刚好装满背包的最优解。
若是并无要求必须把背包装满，而是只但愿价格尽可能大，初始化时应该将f[0..V]所有设为0。
为何呢？能够这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品能够放入背包时的合法状态。若是要求背包刚好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“刚好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。若是背包并不是必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，因此初始时状态的值也就所有为0了。
二、一维数组法（无须装满）
public class sf {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量
int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值
int m = 12; //背包容量
int n = val.length; //物品个数
int[] f = new int[m+1];
for(int i=0;i<f.length;i++){ //没必要装满则初始化为0
f[i] = 0;
}
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){
f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);
}
}
for(int i=0;i<f.length;i++){
System.out.print(f[i]+" ");
}
System.out.println();
System.out.println("最大价值为"+f[f.length-1]);
}
}
输出
0 0 3 4 4 7 7 7 8 9 11 最大价值为11
三、一维数组法（必须装满）
public class sf {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量
int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值
int m = 12; //背包容量
int n = val.length; //物品个数
int[] f = new int[m+1];
for(int i=1;i<f.length;i++){ //必装满则f[0]=0,f[1...m]都初始化为无穷小
f[i] = Integer.MIN_VALUE;
}
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){
f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);
}
}
for(int i=0;i<f.length;i++){
System.out.print(f[i]+" ");
}
System.out.println();
System.out.println("最大价值为"+f[f.length-1]);
}
}
输出
0 -2147483648 3 4 3 7 6 7 8 10 11 12 11 最大价值为11
2、彻底背包
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
但咱们有更优的O(VN)的算法。
O(VN)的算法
这个算法使用一维数组，先看伪代码：
for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
你会发现，这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不一样而已。
public class test{
public static void main(String[] args){
int[] weight = {3,4,6,2,5};
int[] val = {6,8,7,5,9};
int maxw = 10;
int[] f = new int[maxw+1];
for(int i=0;i<f.length;i++){
f[i] = 0;
}
for(int i=0;i<val.length;i++){
for(int j=weight[i];j<f.length;j++){
f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);
}
}
System.out.println(f[maxw]);
}
}输出
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