DAY 5.
1.罗尔定理
罗尔定理描述如下:
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f’(ξ)=0。
例题1
若方程
a0xn+a1xn−1+...+an−1x=0有一个正根,
x=x0,试证方程
a0nxn−1+a1(n−1)xn−2+...+an−1=0 必有一个小于
x0正根。
解:
令
f(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x
因为原方程有一个
x=x0的正根,所以有
f(x0)=a0x0n+a1x0n−1+...+an−1x0 = 0
而:
f(0)=a00n+a10n−1+...+an−10=0
由罗尔定理可知:必存在一
ξ∈(0,x0) 使得
f′(ξ)=0
所以
f′(ξ)=a0nξn−1+a1(n−1)ξn−2+...+an−1=0
当
ξ=x时原式证毕
2.拉格朗日定理
拉格朗日定理其实是罗尔定理的一种推广
如果函数
f(x)满足:1) 在闭区间[a,b]上连续;2) 在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点
ξ(a<ξ<b),使等式
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)成立。
例题2
设 a > b >0, n>1 证明
nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)
解: 设
F(x)=xn
由拉格朗日定理可得:
F(a)−F(b)=an−bn =
F′(ξ)(a−b)
因为:
b<ξ<a
所以
bn−1(a−b)<an−bn<an−1(a−b)
且 n > 1
可得:
nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)
3.柯西中值定理
柯西中值定理是前两者的进一步推广,期末不常考,因为用柯西定理证明的题,用罗尔和拉格朗日都可以证明出来
柯西定理就是当我们把拉格朗日定理里面的
y 看成
f(x) ,
x 看成
g(x) 获得两个参数方程
{y=f(x)x=g(x)
得到:
g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
例题3
设 b>a>0 若
f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)上可导,求证
∃ξ∈(a,b) 使得
f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ab
解:
设
g(x)=lnx,f(x)
由柯西中值定理可知:
g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)=ξ1f′(ξ)
⇒
f(b)−f(a)=ξ1f′(ξ)∗g(b)−g(a)
⇒
f(b)−f(a)=ξf′(ξ)lnab 证毕
4.泰勒公式及麦克劳林公式
当泰勒公式其中的
x0=0的时候就变成了麦克劳林公式
有两个余项:
要记住一些常用函数的泰勒公式