子集合加总问题(Subset sum problem)

两年前在作一个ERP项目时，有个客户提出，根据订单给出的每一个货品的数量（库里存的有每一个货品最小包装的重量，体积和长宽高），输入包装箱的承重和体积和长宽高，而后我须要大家提供一个包装方案，要求结果是用最少的纸箱来包装这些货物并给出包装步骤，最好能用3D图表示。当时我就蒙了，这算法要是靠外包公司写，不知道写不写的出来，因而给客户扯了个相似的背包问题，而后告诉它这是NP彻底问题，很是复杂，货物不少的时候你的服务器不必定能承受计算的压力。而后客户也蒙了，再而后这个需求就取消了。其实，这个究竟是不是背包问题，是否是属于NP彻底问题，我也不敢讲，没仔细的推导过。当时只是以为场景相似，因此就举了个这样的例子给他。如今得回顾一下这个问题，看看靠本身得知识能不能把这个问题推导至背包问题。可是要说背包问题，仍是先说子集合加总问题吧。

给一个整数集合，问是否存在某个非空子集，使得子集内中的数字和为0？例：给定集合{−7, −3, −2, 5, 8}，答案是存在，由于子集{−3, −2, 5}的数字和是0。这个问题被证实是属于NP彻底问题。若是把这个问题看成一个特例，那范围更广的问题就是 “给一个整数集合A，问是否存在某个非空子集s，使得子集内中的数字和为B” ，当咱们把B设为0时，就是咱们上面的那个问题了。而第二个问题，属于背包问题的一个特例。

子集特定合问题的最简单算法（把全部的子集所有列出来，而后对每个子集作运算）时间复杂度是O (2^NN )，由于有2^N个非空子集，而后对于每个子集，咱们最多会作N次加法运算。

有人搞出另一个算法，这个算法的时间复杂度是O (2^N/2 )  （Horowitz and Sahni ，1972）

对他们在1972年提出的这个算法的简单解释以下，

将任意给定元素的集合N分红平分红两个集合，每一个集合有N/2个元素，而后计算出每一个集合的子集的和加总结果，得出两个列表，对这两个列表用比较排序法，而后咱们再把两个列表的元素相加，看是否有其中一对能获得要求的结果。这个加法运算是从第一个列表的头和第二个列表的尾开始。

经过动态规划，还能搞出一个伪多项式时间复杂度的算法，对于断定是否有子集和为0的算法的大概的解释是

序列为 x₁, ..., x_n

A为集合中正数的总和

B为集合中负数的总和

一个方法Q（i, s） 输出是否有子集（x₁, ..., x_i ）的和等于s。

当s=0时,这个方法给出的结果时子集i的和是否等于0

那很明显，当s < A 或者 s > B 时 ，Q（i, s）输出否，也就是两个集合不符合这个条件的均可以不被计算和存储。

构造一个数组来保存符合1 ≤ i ≤ N 和 A ≤ s ≤ B 的Q（i，s ）结果。

递归的把结果放到这个数组中，当i＝1 ， A ≤ s ≤ B 时

Q(1,s) := (x₁ == s)

当i >1时

Q (i ,s) := Q ( i  − 1, s) or (x_i == s) or Q ( i  − 1, s − x_i)   for A ≤ s ≤ B

当咱们每次往数组中插入值的时候，咱们都已知Q的值，因此最终算法的时间复杂度是O ( N ( B  − A ) ). 也就是当计算全部的值的时间复杂度是O (N ^k)，总体算法的复杂度是O ( N ^k+2) ，可是由于A，B值的大小问题，这个算法不符合时间复杂度理论的多项式算法。

Wiki上面还有个线性时间的相似问题的算法，有些改动，可是那个须要时间参透，本身都没太看明白的东西仍是不要摆出来了。

小总结，研究这些问题，或者，学习这些问题的分析方法和分析思路是很是有好处的，作为一个什么都干的程序员，和客户谈需求的时候必需要掌握一些问题的类型，或者能快速的将客户的问题概括到某个已被证实复杂度的问题上（每每客户提出的问题都是这类问题的某个特例），如此才可有理由的答应或者拒绝客户提出的需求。并且，在处理问题的时候，也能快速的想出比较合适的算法来实现某些功能。总之，要想提升代码的质量和水平，基础仍是要扎实的学的。