ACM数论之旅12---康托展开（(*ﾟ▽ﾟ*)装甲展开，主推动器启动，倒计时3,2,1......）

 

在咱们作题中，搜索也好，动态规划也好，咱们每每有时候须要用一个数字表示一种状态

 

好比有8个灯泡排成一排，若是你用0和1表示灯泡的发光状况

那么一排灯泡就能够转换为一个二进制数字了

 

好比

01100110 = 102

11110000 = 240

10101010 = 170

 

经过这些十进制数，只要把他们展开，咱们就知道灯泡的状态了

 

若是这题是一个动态规划题

而后咱们就拿这些数字作一些转移了，

好比dp[102],dp[240],dp[170]等等

这对题目颇有帮助

 

 

 

 

 

 

 

 

上面讲的那些就是所谓的状态压缩了，须知详细的状态压缩能够去百度

或者有机会我本身去写一篇博客（这是flag（/TДT)/）

 

 

 

 

 

 

 

 

那对于有些题，咱们即便状态压缩后，数字太大，数组都开不下，麻烦的题目（/TДT)/

这些题目也要看状况，好比我接下来要讲的康托展开

 

 

 

 

 

 

 

康托展开经典题：hdu 1430

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1430

 

在魔方风靡全球以后不久，Rubik先生发明了它的简化版——魔板。魔板由8个一样大小的方块组成，每一个方块颜色均不相同，可用数字1-8分别表示。任一时刻魔板的状态可用方块的颜色序列表示：从魔板的左上角开始，按顺时针方向依次写下各方块的颜色代号，所获得的数字序列便可表示此时魔板的状态。例如，序列(1,2,3,4,5,6,7,8)表示魔板状态为：

1 2 3 4
8 7 6 5

对于魔板，可施加三种不一样的操做，具体操做方法以下：

A: 上下两行互换,如上图可变换为状态87654321
B: 每行同时循环右移一格,如上图可变换为41236785
C: 中间4个方块顺时针旋转一格,如上图可变换为17245368

给你魔板的初始状态与目标状态，请给出由初态到目态变换数最少的变换步骤，如有多种变换方案则取字典序最小的那种。

 

Input

每组测试数据包括两行，分别表明魔板的初态与目态。

 

Output

对每组测试数据输出知足题意的变换步骤。

 

Sample Input

12345678

17245368

12345678

82754631

 

Sample Output

C

AC

 

 

 

 

 

 

 

咱们看这题，总共有8个数字，1~8，假如咱们把他们当作0~7

那么每一个数字能够转换为一个3位二进制

0:000

1:001

2:010

3:011

4:100

5:101

6:110

7:111

 

而后12345678这个状态咱们能够表示为二进制000001010011100101110111，总共3*8=24位，

2^24 = 16777216，数组根本开不下啊

 

这时，咱们发现了，有一些状态，根本没有用到，由于这题已经规定了有8个数字，每一个数字只出现一次

好比000000000000000000000000这个状态，你说可能出现吗？(o ° ω ° O )

 

 

这个时候，康托就对这种题目作了研究(o ° ω ° O )

 

这种每一个数字只出现一次的问题的因此状况，总共才n!个状况（这个问题叫作全排列）

 

康托的一套算法能够正好产生n!个数字

好比：

123  ->  0

132  ->  1

213  ->  2

231  ->  3

312  ->  4

321  ->  5

 

 

 

 

这是如何作到的(/≥▽≤/)

在峰神的博客里面有很好的解释（对不起了峰神≖‿≖✧，拿过来抄一下）

 

 

 

 

 

 

(/≥▽≤/)好神奇

 

 

 

因而乎，康托展开模板：

 1 void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度
 2     int t;
 3     bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过 
 4     memset(h, 0, sizeof(h)); 
 5     for(int i = 0; i < k; i ++){
 6         t = num / fac[k-i-1];
 7         num = num % fac[k-i-1];
 8         for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){
 9             if(h[pos]) j --;
10             if(j == t){
11                 h[pos] = true;
12                 s[i] = pos + 1;
13                 break;
14             }
15         }
16     }
17 }
18 void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num 
19     int cnt;
20     num = 0;
21     for(int i = 0; i < k; i ++){
22         cnt = 0;
23         for(int j = i + 1; j < k; j ++){
24             if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它
25         }
26         num += fac[k-i-1] * cnt;
27     }
28 }

 

 

 

 

 

 

 

付上AC代码：

（这代码我在杭电上用c++交居然CE了，g++就没问题，CE的内容是个人那个模板，说什么不能bool h[k]这样声明类型，c++当心眼，这有什么关系嘛(´・ω・)ﾉ，我还只是个孩子）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<string>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<queue>
 7 using namespace std; 
 8 typedef long long LL;
 9 const int N = 8;
10 queue <LL> que;
11 string ans[50000];
12 char str1[10], str2[10];
13 bool vis[50000];
14 
15 int map[10];//映射
16 int num[10];
17  
18 LL fac[N];//阶乘
19 void change(int s[], int o){//o分别是0,1,2，表示ABC三种变化
20     switch(o){
21         case 0:
22             for(int i = 0; i < 4; i ++) swap(s[i], s[8-i-1]);
23             break;
24         case 1:
25             for(int i = 3; i >= 1; i --) swap(s[i], s[i-1]);
26             for(int i = 4; i < 7; i ++) swap(s[i], s[i+1]);
27             break;
28         case 2:
29             swap(s[1], s[6]);
30             swap(s[6], s[5]);
31             swap(s[5], s[2]);    
32             break;
33     } 
34 } 
35 void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度
36     int t;
37     bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过 
38     memset(h, 0, sizeof(h)); 
39     for(int i = 0; i < k; i ++){
40         t = num / fac[k-i-1];
41         num = num % fac[k-i-1];
42         for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){
43             if(h[pos]) j --;
44             if(j == t){
45                 h[pos] = true;
46                 s[i] = pos + 1;
47                 break;
48             }
49         }
50     }
51 }
52 void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num 
53     int cnt;
54     num = 0;
55     for(int i = 0; i < k; i ++){
56         cnt = 0;
57         for(int j = i + 1; j < k; j ++){
58             if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它
59         }
60         num += fac[k-i-1] * cnt;
61     }
62 }
63 void init(){
64     fac[0] = 1;
65     for(int i = 1; i < N; i ++) fac[i] = fac[i-1] * i;
66     int a[8], b[8];
67     LL temp, temp2;
68     que.push(0);
69     vis[0] = true;
70     while(!que.empty()){
71         LL temp = que.front(); que.pop();
72         cantor(a, temp, 8);
73         for(int i = 0; i < 3; i ++){
74             copy(a, a+8, b);
75             change(b, i);
76             inv_cantor(b, temp2, 8);
77             if(!vis[temp2]){
78                 que.push(temp2);
79                 vis[temp2] = true;
80                 ans[temp2] = ans[temp] + (char)('A' + i);
81             }
82         }
83     }
84 }
85 int main(){
86     init();
87     while(~scanf("%s", str1)){
88         scanf("%s", str2);
89         //先把全部初始状态都转换成12345678
90         //最终状态根据初始状态的转换而转换 
91         //这样只要一次预处理就能够解决问题了 
92         for(int i = 0; i < 8; i ++) map[str1[i] - '0'] = i + 1;
93         for(int i = 0; i < 8; i ++) num[i] = map[str2[i] - '0'];
94         LL temp;
95         inv_cantor(num, temp, 8);
96         cout << ans[temp] << endl;
97     }
98 }

View Code

 

 

 

 

 

 

 

 

宇宙我来啦~\(≧▽≦)/~