密码疑云 (3)——详解RSA的加密与解密

　　上一篇文章介绍了RSA涉及的数学知识，本章将应用这些知识详解RSA的加密与解密。

RSA算法的密钥生成过程

　　密钥的生成是RSA算法的核心，它的密钥对生成过程以下：

　　1. 选择两个不相等的大素数p和q，计算出n=pq，n被称为RSA算法的公共模数；

　　2. 计算n的欧拉数φ(n)，φ(n)=(p-1)(q-1)；

　　3. 随机选择一个整数e做为公钥加密密钥指数，1< e < φ(n)，且e与φ(n)互质；

　　4. 利用同余方程ed≡1 (mod φ(n))计算e对应的私钥解密指数d。因为GCD(e, φ(n))=1，所以同余方程有惟一解，d就是e对于模φ(n)的乘法逆元；

　　5. 将(e,n)封装成公钥，(d, n)封装成私钥，同时销毁p和q。

　　因为n已经被公开出去，剩下的d就成为RSA有效性的关键，若是d被破解，那么密码系统也宣告失效。至于可否破解，后续再议，先来看看RSA是的加密和解密算法。

RSA的加密和解密算法

　　如今Bob经过上述过程生成了公钥和私钥，并把公钥告知了Alice，若是Alice想和Bob通信，就须要用Bob的公钥PK_B对发送的明文X进行加密，从而获得密文Y：

　　在RSA中，E_e,n(X)是模幂运算，先计算X的e次方，再对其结果用n求余：

　　Bob收到密文后，须要对其解密，还原出明文X，解密运算也是模幂运算：

　　全部信息（包括文字、语音、图像、视频等）在计算机中都是二进制数据，所以能够将X和Y视为整数，进而使用摸幂运算。

　　加密运算容易理解，解密运算为什能还原出明文呢？若是a%n=b，则下面的表达是等同的：

　　所以加密过程在表达上等同于：

　　将密文代入解密运算：

　　继续计算彷佛有点困难，不妨先把问题简化，令a=X^e：

　　这里有一个规律，展开式只有第一项不含有kn，这意味着(a-kn)^d可否被n整除彻底取决于展开式的第一项，所以：

　　在生成密钥的第4步，根据ed≡1 (mod φ(n))计算出了d，这意味着：

　　根据欧拉定理，若是a, n是正整数，且两者互质，则：

　　所以，当X和n互质时：

　　根据①可知：

　　根据模运算的性质：

　　③可进一步简化为：

 　　这里有两种状况，X>=n或X <n 。当X<n 时，因为已经假设了 互质，因此：

　　当X>=n是，状况变得有些微妙，假设X=37,n=35：

　　这下可坏了，解密算法根本没法还原出明文。难道是解密算法有误？实际上RSA的加密是有前提条件的，根据RSA规范（https://tools.ietf.org/html/rfc2437），明文的取值范围必须在0到n-1之间：

　　看来只能是 X<n，当X和n 互质时，解密算法有效，能够还原出明文。

　　

　　当X和n不互质时，它们必然有除了1之外的其它公约数；因为n只有p和q两个约数，所以p或q也必定是X的约数，也就是说X=kp或X=kq。假设X=kp，若是X与q不互质，q自己又是与p互质的素数，所以k必定是q的整数倍：

　　这里用使了同余的性质，若 a≡b mod m，则：aⁿ≡bⁿ mod m 。

　　同余符号两侧同时乘以 X：

 

　　根据②：

　　代入④中：

　　由于(kp)^ed可以被p整除，因此kp+tq也能被p整除，同时kp也能被p整除，根据整除的性质，tq也能被p整除；因为p和q互质，因此t必定是p的倍数：

　　如今能够把这个结论代入①中继续进行解密运算：

　　根据模运算规则：

　　解密运算进一步简化为：

　　因为RSA规范限制X<n，所以：

 　　如今能够知道，在RSA规范的限制下，RSA的解密确实能够还原出明文。

　　假设Bob选择了两个素数，p=113,q=59，由此计算出n=6667，φ(n)=112*58=6496；以后Bob选择了一个与6496互质的小质数e=17做为密密钥指数，再使用前面介绍的扩展欧几里德算法用extEculid(17, 6496)计算出乘法逆元d=3057；最后，Bob把(17, 6667)做为公钥发送给Alice，把(3057，6667)做为私钥留给了本身。

　　如今，Alice向Bob发送了一个520的数字，通过加密运算后生成了密文：

　　Bob收到后用本身的私钥对其解密：

RSA的安全性

　　密码体制的安全性依赖于密钥的安全性，现代密码学不追求加密算法的保密性，而是追求加密算法的完备，使攻击者在不知道密钥的状况下，没有办法从算法找到突破口。

　　RSA算法的密钥生成过程当中涉及到p,q,n, φ(n),e,d几个数字，其中p和q在最后被销毁，还剩下四个：n, φ(n),e,d，在这四个数中，n和e用于私钥，对外公开，d用于私钥要严格保密，一旦d泄露了，就等于加密系统被破解了。如今的问题是，可否经过公钥n和e推算出d？

　　回顾RSA密钥生成的过程，d是由ed≡1 (mod φ(n))计算得出的，只有知道e和φ(n)才能计算出d；φ(n)=(p-1)(q-1)，只有知道p和q才能计算出φ(n)；n=pq，GCD(p,q)=1，只有将n进行素因子分解才能计算出p和q，这就回到了RSA的原理——将两个大素数相乘很容易，可是想要对它们的乘积进行素因子分解却及其困难。反过来，若是n能够被素因子分解，就能够复原已经被销毁的的p和q，进而计算出d，得到私钥。

　　所谓将大整数进行素因子分解很困难，是指计算上的困难，对一极大整数作素因子分解越困难，RSA算法越可靠。假若有人找到一种快速的素因子分解算法，那么用RSA加密的可靠性就将会极度降低。到目前为止，只有短的RSA密钥才可能被解破，至今为止，人们尚未发现一个有效的方法快速分解大整数。为了确保RSA加密系统的安全性，应该随机选择两很大的素数进行操做，以确保n的二进制达到上千位，以防护将来可能出现的素因子分解技术的近进步。目前能预测2030年以前足够安全的RSA密钥长度是2048位。

攻破心的壁垒

　　坚固的城堡每每是从内部被攻克的，再高明的加密体制也抵挡不住私钥泄露的危险。

　　周武王在对主将颁布“阴符”时曾明确告知，谁要是敢泄露“阴符”的暗语就剁了谁：“诸奉使行符，稽留者，若符事泄，闻者告者，皆诛之。八符者，主将秘闻，因此阴通言语不泄，中外相知之术。”然而一旦被俘，又有几我的可以作到不泄密？所以谍战片中不多有高端的密码破解技术，更可能是严刑拷打，这比破译密码有效多了。现代特种部队的“抗审”训练也并不是是提升硬扛的能力，而是尽最大可能拖延泄密的时间，像挤牙膏同样把信息一点一点透露出去，由于随着时间的流逝，机密的等级也将变得愈来愈低。

　　窃取和平年代的商用密码天然不能靠严刑拷打了，咱们平时接触的密码不少，好比最典型的公司门禁密码和业务系统密码。然而遗憾的是，绝大多数公司都过于注重技术上的安全性，轻视了脆弱的人心。

　　“银河集团”最近上线了用于管理公司业务和客户信息的“芒砀山系统”，这是由一个著名的软件公司开发的，号称可以安全运行100年。“芒砀山系统”在外网上公开了注册客户可以使用的一些功能。“银河集团”特别注重系统的安全性，要求全部有权限登陆管理端的员工必须使用16位以上的密码并按期更换。如今Mallory来了，他想要到系统中游荡一番，顺便篡改一下数据，他会怎么作呢？

　　如下是Mallory的自述：

　　我必定要黑进“芒砀山系统”，为此我作了大量的信息侦查，收集到了“银河集团”一些人员的姓名和座机电话。

　　我不知道这个系统还有没有其它名字，因此我一开始拨打了一个客服电话，说本身的公司也在使用一个相似的系统，我说：“咱们的系统在公司内部叫芒砀山，大家也叫这个名字吗？”

　　“咱们叫芒砀山号。”客服小姐说。

　　这是个有用的信息，可以增长个人信誉度。而后，我给行政部门的打了一个电话，给了他们在信息侦查时找到的客服部经理的名字，说本身是一位刚刚入职的员工，须要分配一个邮箱。接电话的哥们立马给我开通了邮箱，并告诉了我邮箱地址和初始密码。

　　一小时后，我又拨打了行政部门的电话，接电话的仍是刚才的人，我挂掉了电话。

　　又过了一会，我再次拨打行政部的电话，此次是一个叫赵信的人接听的。“Hi，我是客务部新入职的员工，我须要登陆芒砀山号的客户管理界面，能不能为我开通一下帐号？”“好的，你的邮箱是什么？”我给了他刚刚激活的邮箱。“好的，没问题。你的账号就是你的邮箱号，初始密码须要你到我这里领取。”

　　我试着问：“能够把密码发到我邮箱里吗？”

　　他回答说：“咱们不容许在电话和邮件中给你密码，你的办公室在哪里？”

　　我说：“我立刻要去赶飞机。你能够把密码密封在一个信封里，待会交给琪琳吗？” 琪琳是我从信息侦查环节中发现的客服部秘书的名字。

　　他说“好的，祝你工做顺利。”

　　过了一会，我打电话给琪琳，取回赵信留给个人信封，并读取其中的信息给我，她照办了。我告诉她把字条扔到垃圾桶里，由于我再也不须要它了。

　　“芒砀山系统”就这样对我敞开了大门。

　　Mallory使用了一种被称为“社会工程学”的知识取得了密码，从而“光明正大”地走进了系统，并非Mallory的技术高深莫测，而是Mallory更懂人心。

　　注：Mallory的故事改编自世界顶级黑客凯文·米特尼克的《线上幽灵》。

来自量子计算的挑战

　　RSA加密系统可以确保安全的前提是，没有一个计算机可以在可接受的时间内分解一个极大整数，即便是超级计算机也要花费数年的时间。然而，随着量子计算机体系结构的发展，过去的超强算力彷佛也并不是不可触及。

　　二十世纪后期，美国学者提出了基于量子计算机的质因数分解算法——Shor算法，从理论上证实，在当前最快的计算机上须要上万年才能完成的计算任务，量子计算机瞬间即能完成，严重地威胁到了基于这类数学难题的公钥密码系统的安全性。紧随其后的Grover量子搜索算法，对于密码破译来讲，至关于把密钥的长度减小一半，种种迹象代表，通用量子计算机一旦实现，对目前普遍使用的RSA、EIGamal、ECC公钥密码和DH密钥协商协议都构成了严重的威胁。

　　2016年，美国国家安全局建议全部美国政府机构放弃RSA加密算法，而改用其它技术。随着量子技术的不断成熟，实用量子计算机总会有到来的一天，到了那一天，密码学，特别是基于NP困难问题的公钥密码系统会何去何从呢？

　　

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　　 做者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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